الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: الالتفاف المتقطع, الالتفاف المستمر, استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
x[n]n−10−31224334h[n]n−101112134

كلتا المتتاليتين x[n] = {−3, 2, 4, 3} وh[n] = {1, 1, 1} تبدأ عند n = 0. أوجد العينة y[1] من الالتفاف y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {−3, 2, 4, 3}, n = 0…3h[n] = {1, 1, 1}, n = 0…2
المسألة التالية →
تدرّب على الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا مجانًاتدرّب على الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالالتفاف المتقطع
  2. متوسطةالالتفاف المستمر
  3. صعبةاستجابة النبضة ومتسلسلة فورييه

كيف تحلّ مسائل الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

  1. ارسم الإشارتين ودوّن أين تكون كل منهما غير صفرية.
  2. اقلب h وحرّكه: لكل زمن خرج أوجد المدى الذي تتراكب فيه الإشارتان.
  3. اضرب واجمع (في المتقطع) أو اضرب وكامِل (في المستمر) على ذلك التراكب وحده.
  4. تحقق من النتيجة: يبدأ الخرج عند مجموع زمني البداية وينتهي عند مجموع زمني النهاية، وتساوي مساحته أو مجموعه حاصل ضرب مساحتي الدخلين أو مجموعيهما.

أخطاء شائعة

  • ضرب الإشارتين عينة بعينة بدل إجراء الالتفاف بينهما.
  • إزاحة h دون قلبه، وهذا يعطي الارتباط.
  • استخدام صيغة استجابة الخطوة حيث تُطلب استجابة النبضة، أو العكس.
  • عدّ رقم التوافقي خطأً: المركّبة عند k/T هي التوافقي k.

الصيغ الأساسية

الالتفاف المتقطع
y[n] = Σ x[k]·h[n − k]
الالتفاف المستمر
y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ
الطول والمجموع
Ly = Lx + Lh − 1, Σy = Σx·Σh
البداية والنهاية والمساحة
t1 + t3 … t2 + t4, ∫y = ∫x·∫h
خطوة داخلة في e^(−at)u(t)
y(t) = (A/a)(1 − e−at)
نظام من الرتبة الأولى
y′ + a·y = b·x → h(t) = b·e−atu(t)
التكرار من الرتبة الأولى
y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] → h[n] = b·aⁿ
جيبية تمر عبر h(t)
|H(jω)|, ∠H(jω); H(jω) = b/(a + jω)
سعات متسلسلة فورييه
مربعة ±A: 4A/(kπ)، k فردي؛ مثلثية ±A: 8A/(π²k²)، k فردي؛ قطار نبضات: A·D و(2A/(kπ))|sin kπD|

تعلّم الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا من البداية

قبل هذا: التكاملات

1ماذا يفعل الالتفاف

يوصَف النظام الخطي اللامتغير زمنيًا (LTI) وصفًا كاملًا بـاستجابة نبضته h: وهي الخرج الذي يعطيه حين يكون الدخل ركلة قصيرة واحدة.

يمكن النظر إلى أي دخل على أنه صف من الركلات المضروبة في معاملات والمزاحة. وتنتج كل ركلة نسخة مضروبة ومزاحة من h، والخرج هو مجموع كل النسخ. وهذا المجموع هو الالتفاف y = x ∗ h.

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

يظهر الالتفاف أينما كانت للنظام ذاكرة: المرشحات والمستشعرات والمنشآت والدارات وانتشار الإشارة عبر الزمن.

تحقّق ذاتي لنظام h[n] = {1, 3} (n = 0, 1). الدخل عينة واحدة x[0] = 2. ما الخرج؟
  1. y[n] = {2, 3}
  2. y[n] = {2, 6}
  3. y[n] = {3, 1}
  4. y[n] = {8}

الإجابة: y[n] = {2, 6}. ركلة واحدة ارتفاعها 2 تعطي نسخة واحدة من h مضروبة في 2: {2·1, 2·3} = {2, 6}. الالتفاف يحافظ على شكل h؛ ولا يجمع العينات معًا.

2الالتفاف المتقطع خطوة بخطوة

للمتتاليات يكون الالتفاف مجموعًا:

y[n] = Σk x[k]·h[n − k]
  1. اقلب h: h[−k] هي h معكوسة حول k = 0.
  2. أزح h المقلوبة بمقدار n.
  3. اضربها عينة بعينة في x واجمع الجداءات. هذا يعطي y[n].
  4. كرّر لكل n. إذا كان لـ x عدد Lx من العينات ولـ h عدد Lh، فإن لـ y عدد Lx + Lh − 1 من العينات، تبدأ عند مجموع دليلي البداية.

فحص سريع: مجموع كل عينات y يساوي (Σx)·(Σh).

تحقّق ذاتي لـ x[n] = {1, 2} وh[n] = {3, 1}، وكلتاهما تبدأ عند n = 0، ما قيمة y[1]؟
  1. 2
  2. 5
  3. 6
  4. 7

الإجابة: 7. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1·1 + 2·3 = 7. أما ضرب x[1]·h[1] وحده فيعطي 2، والعدد 6 لا يأخذ إلا أحد الجداءين.

3مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أجرِ الالتفاف بين x[n] = {2, 1, −1} وh[n] = {1, 3}، وكلتاهما تبدأ عند n = 0.

1

انظر إلى المتتاليتين

x[n]n−102112−134h[n]n−10113234

لـ x ثلاث عينات ولـ h عينتان، فيكون لـ y عدد 3 + 2 − 1 = 4 عينات، من n = 0 إلى n = 3.

2

y[0]

لا يتراكب إلا x[0] وh[0].

y[0] = 2·1 = 2
3

y[1]

y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 2·3 + 1·1 = 7
4

y[2] وy[3]

y[2] = x[1]·h[1] + x[2]·h[0] = 1·3 + (−1)·1 = 2
y[3] = x[2]·h[1] = (−1)·3 = −3
5

تحقّق من الإجابة

Σx = 2 وΣh = 4، لذا يجب أن يكون Σy = 8. وفعلًا 2 + 7 + 2 − 3 = 8.

الإجابة

y[n] = {2, 7, 2, −3} لـ n = 0 … 3.

4الالتفاف المستمر

للإشارات المستمرة زمنيًا يصبح المجموع تكاملًا:

y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ

الطريقة نفسها: اقلب h وحرّكه إلى الموضع t وكامِل حاصل الضرب على الجزء الذي تكون فيه الإشارتان غير صفريتين.

x(t)t12h(t)t1

مع x(t) = 2 لـ 0 ≤ t < 1 s وh(t) = e−tu(t)، يكون الخرج أثناء النبضة y(t) = ∫₀ᵗ 2e−(t − τ) dτ = 2(1 − e−t). وعند t = 1 s يبلغ 2(1 − e−1) = 1,26، وبعد ذلك يتضاءل بالصيغة 1,26·e−(t − 1).

  • تبدأ y عند مجموع زمني البداية وتنتهي عند مجموع زمني النهاية.
  • المساحة تحت y تساوي المساحة تحت x مضروبة في المساحة تحت h.
  • نبضتان مستطيلتان تعطيان شبه منحرف؛ ونبضتان متساويتان تعطيان مثلثًا.
تحقّق ذاتي x(t) غير صفرية من 0 إلى 2 s وh(t) من 1 s إلى 4 s. متى تنتهي y(t) = x(t) ∗ h(t)؟
  1. 3 s
  2. 4 s
  3. 5 s
  4. 6 s

الإجابة: 6 s. تنتهي y عند مجموع زمني النهاية: 2 + 4 = 6 s. وتبدأ عند 0 + 1 = 1 s، فتدوم 5 s؛ والعدد 5 s هو المدة لا النهاية.

5استجابات النبضة ومتسلسلة فورييه

لنظام من الرتبة الأولى y′ + a·y = b·x استجابة نبضة h(t) = b·e−atu(t). ونظيره المتقطع y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] له h[n] = b·aⁿ لـ n ≥ 0.

تمر الجيبية عبر نظام خطي لا يتغير مع الزمن بتردد لا يتغير. وتُضرب في |H(jω)| وتُزاح بالزاوية ∠H(jω)، حيث H هو تحويل فورييه لـ h. وللدالة h(t) = b·e−atu(t) يكون H(jω) = b/(a + jω).

الإشارة الدورية ذات الدور T مجموع توافقيات عند الترددات k/T. وهذه بعض السعات المعيارية:

  • موجة مربعة بين −A و+A: k فردي فقط، والسعة 4A/(kπ).
  • موجة مثلثية بين −A و+A: k فردي فقط، والسعة 8A/(π²k²).
  • قطار نبضات ارتفاعه A ودورة تشغيله D: المتوسط A·D، والتوافقيات (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.
تحقّق ذاتي تتبدل موجة مربعة بين −2 و+2. ما سعة توافقيها الثالث؟
  1. 0,283
  2. 0,424
  3. 0,849
  4. 2,546

الإجابة: 0,849. 4A/(kπ) = 8/(3π) = 0,849. والعدد 2,546 هو الأساسي، والعدد 0,283 يقسم على k² كما في الموجة المثلثية، والعدد 0,424 يستخدم 2A/(kπ)، وهي صيغة موجة من 0 إلى A.

6أخطاء شائعة

  • ضرب الإشارتين عينة بعينة بدل إجراء الالتفاف بينهما.
  • إزاحة h دون قلبه؛ وهذا يعطي الارتباط لا الالتفاف.
  • الخلط بين استجابة النبضة واستجابة الخطوة: فاستجابة الخطوة هي المجموع أو التكامل المتراكم لـ h.
  • عدّ التوافقيات خطأً: المركّبة عند k/T هي التوافقي k.
تحقّق ذاتي x[n] = {1, 2} وh[n] = {1, 1}، كلتاهما من n = 0. ما قيمة y[1]؟
  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4

الإجابة: 3. y[1] = x[0]·h[1] + x[1]·h[0] = 1 + 2 = 3. أما الجداء عينة بعينة x[1]·h[1] فيعطي 2 فقط.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: الالتفاف المتقطع. تجد عينة واحدة من الخرج، أو أكبر عينة، أو مجموع كل العينات، أو أول دليل أو آخره في y، أو خرج مرشح FIR، أو الاستجابة لخطوة.
  • متوسط: الالتفاف المستمر. تجد y(t) عند زمن معيّن لنبضتين، أو لدالة أسية مع خطوة أو نبضة، أو لدالتين أسيتين، وكذلك مساحة y أو بدايتها أو نهايتها أو مدتها.
  • صعب: استجابات النبضة ومتسلسلة فورييه. تجد h(t) لمعادلة تفاضلية من الرتبة الأولى، أو h[n] أو استجابة الخطوة لعلاقة تكرارية، أو الكسب أو الطور لجيبية، أو توافقيًا لموجة مربعة أو مثلثية أو قطار نبضات.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
x[n]n−1041−32−234h[n]n−10311234

كلتا المتتاليتين x[n] = {4, −3, −2} وh[n] = {3, 1} تبدأ عند n = 0. أوجد العينة y[1] من الالتفاف y[n] = x[n] ∗ h[n].

x[n] = {4, −3, −2}, n = 0…2h[n] = {3, 1}, n = 0…1

المطلوب: y[1]

أظهر التلميحات
  1. y[n] = Σ x[k]·h[n − k].
  2. عند n = 1 تكون الحدود هي k = 0, 1.
  3. x[0]·h[1] + x[1]·h[0].
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الالتفاف المتقطع: خرج نظام خطي لا يتغير مع الزمن هو y[n] = Σk x[k]·h[n − k]: اقلب h وأزحه بمقدار n واضربه عينة بعينة في x ثم اجمع. إذا كان لـ x عدد Lx من العينات تبدأ عند nx ولـ h عدد Lh من العينات تبدأ عند nh، فإن لـ y عدد Lx + Lh − 1 من العينات تبدأ عند nx + nh. ومجموع كل عينات y يساوي (Σx)·(Σh). المرشح FIR بالصيغة y[n] = b₀x[n] + b₁x[n − 1] + … هو التفاف مع h[n] = bn.

حدود المجموع

لا يسهم إلا الـ k الذي توجد عنده x[k] وh[n − k] معًا.

x[0]·h[1] = 4·1 = 4
x[1]·h[0] = −3·3 = −9

اجمعها

y[1] = −5

الإجابة

y[1] = −5
مثال 2متوسطة
x(t)t11h(t)t1

تُطبَّق النبضة x(t) = 1 لـ 0 ≤ t < 1 s (وصفر في غير ذلك) على نظام فيه h(t) = e−2tu(t). أوجد الخرج y(2,5) عند t = 2,5 s، بعد انتهاء النبضة.

x(t) = 1, 0 ≤ t < 1 sh(t) = e−2tu(t)t = 2,5 s

المطلوب: y(2.5)

أظهر التلميحات
  1. اكتب النبضة على أنها خطوة عند t = 0 ناقص خطوة عند t = 1 s.
  2. استجابة الخطوة هي (A/a)(1 − e−at).
  3. بعد النبضة: y(t) = y(1)·e−a(t − 1).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

الالتفاف المستمر: y(t) = ∫ x(τ)·h(t − τ) dτ. اقلب h وحرّكه إلى الموضع t ثم كامِل حاصل ضرب الجزأين المتراكبين. وللإشارات السببية يمتد التكامل من 0 إلى t. نتائج مفيدة: مساحة y تساوي مساحة x مضروبة في مساحة h؛ وإذا استمرت x من t₁ إلى t₂ وh من t₃ إلى t₄ فإن y تستمر من t₁ + t₃ إلى t₂ + t₄. وللدالة h(t) = e−atu(t) ولخطوة ارتفاعها A يكون y(t) = (A/a)(1 − e−at).

الخرج عند نهاية النبضة

y(1) = (1/2)(1 − e−2) = 0,4323

التضاؤل بعد النبضة

y(2,5) = 0,4323·e−2·1,5 = 0,02152

الإجابة

y(2,5) = 0,02152
مثال 3صعبة
δ(t)y′ + 5y = 3xh(t)

يحقق نظام المعادلة y′(t) + 5·y(t) = 3·x(t). أوجد استجابة نبضته عند t = 0,05 s، h(0,05).

y′ + 5y = 3xt = 0,05 s

المطلوب: h(0.05)

أظهر التلميحات
  1. خذ تحويلات لابلاس بشروط ابتدائية صفرية: (s + 5)Y(s) = 3X(s).
  2. H(s) = 3/(s + 5).
  3. h(t) = 3·e−5tu(t).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه: تصف استجابة النبضة h(t) نظامًا خطيًا لا يتغير مع الزمن وصفًا كاملًا: ففي y′ + a·y = b·x تكون h(t) = b·e−atu(t)، وفي y[n] = a·y[n − 1] + b·x[n] تكون h[n] = b·aⁿu[n]. تمر الجيبية cos ωt بكسب |H(jω)| وطور ∠H(jω)، حيث H هو تحويل فورييه لـ h. الإشارة الدورية مجموع توافقيات عند k/T: فالموجة المربعة ±A لها توافقيات فردية فقط بسعات 4A/(kπ)، والموجة المثلثية ذات الذروة A لها 8A/(π²k²)، وقطار النبضات ذو الارتفاع A ودورة التشغيل D له المتوسط A·D والتوافقيات (2A/(kπ))·|sin(kπD)|.

دالة التحويل

H(s) = Y(s)/X(s) = 3/(s + 5)

استجابة النبضة

h(t) = 3·e−5tu(t)
h(0,05) = 3·e−0,25 = 2,336

الإجابة

h(0,05) = 2,336

أسئلة وأجوبة

ما هو الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا؟

يوصَف النظام الخطي اللامتغير زمنيًا (LTI) وصفًا كاملًا بـاستجابة نبضته h: وهي الخرج الذي يعطيه حين يكون الدخل ركلة قصيرة واحدة.

يمكن النظر إلى أي دخل على أنه صف من الركلات المضروبة في معاملات والمزاحة. وتنتج كل ركلة نسخة مضروبة ومزاحة من h، والخرج هو مجموع كل النسخ. وهذا المجموع هو الالتفاف y = x ∗ h.

كيف تحل مسائل الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا خطوة بخطوة؟
  1. ارسم الإشارتين ودوّن أين تكون كل منهما غير صفرية.
  2. اقلب h وحرّكه: لكل زمن خرج أوجد المدى الذي تتراكب فيه الإشارتان.
  3. اضرب واجمع (في المتقطع) أو اضرب وكامِل (في المستمر) على ذلك التراكب وحده.
  4. تحقق من النتيجة: يبدأ الخرج عند مجموع زمني البداية وينتهي عند مجموع زمني النهاية، وتساوي مساحته أو مجموعه حاصل ضرب مساحتي الدخلين أو مجموعيهما.
ما الأخطاء الشائعة في الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا؟
  • ضرب الإشارتين عينة بعينة بدل إجراء الالتفاف بينهما.
  • إزاحة h دون قلبه، وهذا يعطي الارتباط.
  • استخدام صيغة استجابة الخطوة حيث تُطلب استجابة النبضة، أو العكس.
  • عدّ رقم التوافقي خطأً: المركّبة عند k/T هي التوافقي k.
ماذا تغطي تمارين الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا؟
  • سهلة: الالتفاف المتقطع
  • متوسطة: الالتفاف المستمر
  • صعبة: استجابة النبضة ومتسلسلة فورييه

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

التكاملات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

الإشارات والأنظمةالرياضيات الهندسية 2

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا مع الإجابات
تدرّب على الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا مجانًاتدرّب على الالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.