معاوقة التيار المتردد والطوريات: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في معاوقة التيار المتردد والطوريات مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: RL على التوالي, RLC على التوالي, جهد المكثّف والرنين.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
120 V50 HzR = 40 ΩL = 150 mH

دائرة RL على التوالي موصولة بمصدر 120 V (فعّال)، 50 Hz. أوجد الجهد الفعّال VR على المقاومة.

V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 150 mH
V
المسألة التالية →
تدرّب على معاوقة التيار المتردد والطوريات مجانًاتدرّب على معاوقة التيار المتردد والطوريات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةRL على التوالي
  2. متوسطةRLC على التوالي
  3. صعبةجهد المكثّف والرنين

كيف تحلّ مسائل معاوقة التيار المتردد والطوريات

  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.

أخطاء شائعة

  • استخدام f بدل ω.
  • جمع مقادير الممانعات بدل قيمها المركّبة.
  • نسيان أن المفاعلة السعوية سالبة في الممانعة المركّبة.

الصيغ الأساسية

المعاوقات
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
التردد الزاوي
ω = 2πf
المقدار والزاوية
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
قانون أوم بالطوريات
V = I·Z

تعلّم معاوقة التيار المتردد والطوريات من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي

1ما هو التيار المتردد والممانعة

مصدر التيار الكهربائي الرئيسي تيار متردد (AC): يتأرجح الجهد صعودًا وهبوطًا كموجة جيبية، مرات كثيرة في الثانية.

التردد f هو عدد التأرجحات الكاملة في الثانية، بالهرتز (Hz). وتيار الشبكة 50 Hz في أوروبا و60 Hz في أمريكا الشمالية.

تستخدم حسابات التيار المتردد غالبًا التردد الزاوي:

ω = 2π·f (rad/s)

تُعطى جهود التيار المتردد وتياراته عادةً بالقيمة الفعّالة rms. والقيمة rms تبذل شغل التسخين نفسه الذي تبذله قيمة التيار المستمر تلك. فتيار الشبكة «230 V» يعني 230 V rms.

في دوائر التيار المتردد تحدّ المحثات والمكثفات التيار أيضًا، لا المقاومات فقط. ويسمى أثرها المشترك الممانعة (impedance) Z، وتُقاس بالأوم.

تحقّق ذاتي يعمل مصدر بتردد 50 Hz. ما ترده الزاوي ω؟
  1. 157 rad/s
  2. 314 rad/s
  3. 50 rad/s
  4. 7,96 rad/s

الإجابة: 314 rad/s. ω = 2π·50 = 314 rad/s. واستخدام f نفسها (50) أو القسمة على 2π (7,96) هما الزلّتان المعتادتان؛ و157 تنسى العامل 2.

2مفاعلة المحث والمكثف

يقاوم المحث والمكثف التيار المتردد بطريقة تتوقف على التردد. وهذه المعارضة المعتمدة على التردد تسمى المفاعلة (reactance) X، بالأوم.

XL = ω·L XC = 1 / (ω·C)
  • المحث يعارض التغيرات السريعة. وتزداد مفاعلته XL مع التردد. وعند التيار المستمر (f = 0) هو سلك عادي.
  • المكثف يحجب التيار المستمر لكنه يسمح بمرور التغيرات السريعة. وتنخفض مفاعلته XC كلما ارتفع التردد.

استخدم دائمًا L بالهنري وC بالفاراد: 100 mH = 0,1 H و10 µF = 10·10−6 F.

تحقّق ذاتي ما مفاعلة محث 100 mH عند 50 Hz؟
  1. 0,0318 Ω
  2. 31,4 Ω
  3. 5 Ω
  4. 5000 Ω

الإجابة: 31,4 Ω. XL = ωL = 2π·50·0,1 = 31,4 Ω. واستخدام f بدلًا من ω يعطي 5 Ω، ونسيان تحويل mH إلى H يعطي 5000 Ω.

3الممانعة وزاوية الطور

في المقاومة يرتفع الجهد والتيار وينخفضان معًا. وفي المحث يتأخر التيار ربع دورة عن الجهد؛ وفي المكثف يتقدم عليه بربع دورة.

بسبب هذه الإزاحة لا يمكنك جمع R وX كعددين عاديين. بل تجمعهما بزاوية قائمة، مكتوبين كعدد مركّب بالرمز j:

Z = R + j·(XL − XC)
RXL​|Z|φ

مقدار الممانعة وزاويتها يأتيان من المثلث القائم:

|Z| = √(R² + X²) φ = arctan(X / R)

يعمل قانون أوم بالمقدار: I = V / |Z|. وتبيّن الزاوية φ مدى تأخر التيار عن الجهد. φ الموجبة تعني حثية (التيار متأخر)؛ وφ السالبة تعني سعوية.

تحقّق ذاتي دائرة على التوالي فيها R = 30 Ω وXL = 40 Ω. ما |Z|؟
  1. 10 Ω
  2. 2500 Ω
  3. 50 Ω
  4. 70 Ω

الإجابة: 50 Ω. |Z| = √(30² + 40²) = √2500 = 50 Ω. وجمع الاثنين (70 Ω) يتجاهل الزاوية القائمة، و2500 تنسى الجذر التربيعي.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. حوّل التردد: ω = 2π·f.
  2. أوجد كل مفاعلة: XL = ωL وXC = 1/(ωC). استخدم H وF.
  3. أوجد صافي المفاعلة X = XL − XC (دائرة على التوالي).
  4. أوجد |Z| = √(R² + X²) وعند الحاجة φ = arctan(X/R).
  5. استخدم قانون أوم: I = V/|Z|. ثم يكون الجهد على جزء واحد هو I مضروبًا في R أو X له.

في دائرة على التوالي يمر التيار نفسه في كل جزء. ولهذا يمكنك إيجاد I أولًا واستخدامه في كل مكان.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

دائرة RL على التوالي فيها R = 50 Ω وL = 100 mH موصولة بمصدر 120 V (rms) بتردد 60 Hz. أوجد |Z| والتيار الفعّال I وزاوية الطور φ.

1

انظر إلى الدائرة

120 V60 HzR = 50 ΩL = 100 mHI

لا يوجد مكثف، فـ XC = 0.

2

التردد الزاوي والمفاعلة

ω = 2π·60 = 377 rad/s
XL = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω
3

المعاوقة

50 Ω37,7 Ω62,6 Ωφ
|Z| = √(50² + 37,7²) = 62,6 Ω
4

التيار وزاوية الطور

I = V / |Z| = 120 / 62,6 = 1,92 A
φ = arctan(37,7 / 50) = 37,0°

الزاوية موجبة، فيتأخر التيار عن الجهد، كما هو متوقع لدائرة حثية.

5

تحقّق من الإجابة

تأخذ المقاومة 1,92·50 = 95,8 V ويأخذ المحث 1,92·37,7 = 72,2 V. وجمعهما كعددين عاديين يعطي 168 V، وهو أكثر من الجهد المصدر.

وجمعهما بزاوية قائمة صحيح: √(95,8² + 72,2²) = 120 V، أي جهد المصدر.

الإجابة

|Z| = 62,6 Ω وI = 1,92 A وφ = 37,0° (التيار متأخر).

6أخطاء شائعة

  • استخدام f بدلًا من ω = 2πf في XL وXC.
  • جمع R وXL وXC كأعداد عادية. R عمودية على X؛ وXL وXC تشيران في اتجاهين متعاكسين.
  • نسيان أن المفاعلة السعوية تُطرح: X = XL − XC.
  • ترك L بـ mH أو C بـ µF، أو استخدام آلة حاسبة مضبوطة على الراديان بينما تريد φ بالدرجات.
تحقّق ذاتي دائرة RLC على التوالي فيها R = 40 Ω وXL = 50 Ω وXC = 20 Ω. ما |Z|؟
  1. 110 Ω
  2. 50 Ω
  3. 70 Ω
  4. 80,6 Ω

الإجابة: 50 Ω. X = 50 − 20 = 30 Ω، إذن |Z| = √(40² + 30²) = 50 Ω. إذا جمعت XC بدل أن تطرحها فستحصل على √(40² + 70²) = 80,6 Ω؛ أما 110 Ω فتجمع كل القيم كأعداد عادية.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: دائرة RL على التوالي بمصدر 50 Hz أو 60 Hz. تحسب |Z| أو التيار الفعّال I.
  • متوسط: دائرة RLC على التوالي عند ترددات مختلفة. تحسب التيار I أو زاوية الطور φ، وهي سالبة عندما تكون XC أكبر من XL.
  • صعب: دائرة RLC على التوالي تحسب فيها جهد المكثف أو التيار أو تردد الرنين.

لإيجاد جهد المكثف احسب I أولًا ثم VC = I·XC. وقرب الرنين قد يزيد على جهد المصدر.

عند الرنين تكون XL = XC، فتلغي إحداهما الأخرى ويصبح |Z| = R. ولا يتوقف ذلك على تردد المصدر:

f0 = 1 / (2π·√(L·C))

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
V100 HzC = 1 µF

أوجد مفاعلة XC مكثّف سعته 1 µF عند 100 Hz.

C = 1 µFf = 100 Hz

المطلوب: XC (Ω)

أظهر التلميحات
  1. حوّل L و C إلى مفاعلات: XL = 2πfL و XC = 1/(2πfC).
  2. حوّل µF إلى F أولًا: اضرب في 10⁻⁶.
  3. ω = 628,3 rad/s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

المفاعلة

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s
XC = 1/(ωC) = 1/(628,3·1·10⁻⁶) = 1592 Ω

الإجابة

XC = 1592 Ω
مثال 2متوسطة
Vf0​ = 1000 HzRL = 200 mHC = ?

دائرة RLC على التوالي مع L = 200 mH يجب أن ترنّ عند 1000 Hz. أوجد السعة C المطلوبة.

f0 = 1000 HzL = 200 mH

المطلوب: C (µF)

أظهر التلميحات
  1. عند الرنين XL = XC، ما يعطي f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. أعد الترتيب: C = 1/((2πf₀)²·L).
  3. (2πf₀)² = 3,948 × 10⁷ s⁻².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

شرط الرنين

عند الرنين تُلغي المفاعلتان الحثية والسعوية بعضهما: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,2) = 0,1267 µF

الإجابة

C = 0,1267 µF
مثال 3صعبة
VfR = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

دائرة RLC على التوالي لها R = 20 Ω و L = 200 mH و C = 1 µF. أوجد معامل الجودة Q لها عند الرنين.

R = 20 ΩL = 200 mHC = 1 µF

المطلوب: Q

أظهر التلميحات
  1. أوجد أولًا تردّد الرنين f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. Q = ω₀L/R = (1/R)·√(L/C).
  3. f₀ = 355,9 Hz, Q = 22,36.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

دوائر التيار المتردد بالطوريات: للمقاومات والملفات والمكثّفات معاوقات R و jωL و 1/(jωC)، مع ω = 2πf. على التوالي تُجمع المعاوقات كالمقاومات، لكن كأعداد مركّبة. ويتبع التيار والجهد الفعّالان قانون أوم مع |Z|.

تردد الرنين

f0 = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

معامل الجودة

Q يقارن المفاعلة عند الرنين بالمقاومة: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 22,36

الإجابة

Q = 22,36

أسئلة وأجوبة

ما هو معاوقة التيار المتردد والطوريات؟

مصدر التيار الكهربائي الرئيسي تيار متردد (AC): يتأرجح الجهد صعودًا وهبوطًا كموجة جيبية، مرات كثيرة في الثانية.

تستخدم حسابات التيار المتردد غالبًا التردد الزاوي:

كيف تحل مسائل معاوقة التيار المتردد والطوريات خطوة بخطوة؟
  1. حوّل التردد: ω = 2πf.
  2. أوجد كل ممانعة مفاعلة: XL = ωL و XC = 1/(ωC).
  3. اجمع الممانعات كما تجمع المقاومات، مع Z = R + jX.
  4. أوجد المقدار |Z| = √(R² + X²) والزاوية φ = atan(X/R)، ثم استخدم قانون أوم بالطوريات.
ما الأخطاء الشائعة في معاوقة التيار المتردد والطوريات؟
  • استخدام f بدل ω.
  • جمع مقادير الممانعات بدل قيمها المركّبة.
  • نسيان أن المفاعلة السعوية سالبة في الممانعة المركّبة.
ماذا تغطي تمارين معاوقة التيار المتردد والطوريات؟
  • سهلة: RL على التوالي
  • متوسطة: RLC على التوالي
  • صعبة: جهد المكثّف والرنين

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازي

ثم تابع مع

قدرة التيار المتردد ومعامل القدرةمخططات بودي والهوامشرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالمحوّلات

الآلات الحاسبة

حاسبة ممانعة RLC

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المترددأساسيات الهندسة الكهربائيةالفيزياء 2: الكهرباء والمغناطيسيةنظم القوى الكهربائية والآلات الكهربائيةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل معاوقة التيار المتردد والطوريات مع الإجابات
تدرّب على معاوقة التيار المتردد والطوريات مجانًاتدرّب على معاوقة التيار المتردد والطوريات الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.