خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: نوع النظام وثوابت الخطأ, أخطاء الحالة المستقرة والكسب, تصميم P وPI وPD.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
R(s)+10(s + 3)s(s + 1)(s + 4)C(s)−

لحلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4)). أوجد ثابت خطأ السرعة Kv.

G(s) = 10(s + 3)/(s(s + 1)(s + 4))
المسألة التالية →
تدرّب على خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID مجانًاتدرّب على خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةنوع النظام وثوابت الخطأ
  2. متوسطةأخطاء الحالة المستقرة والكسب
  3. صعبةتصميم P وPI وPD

كيف تحلّ مسائل خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID

  1. عُدّ أقطاب الحلقة المفتوحة C(s)·G(s) عند s = 0: فذلك هو نوع النظام.
  2. احسب ثابت الخطأ المناسب للدخل: Kp للخطوة، وKv للمنحدر، وKa للقطع المكافئ.
  3. طبّق ess = A/(1 + Kp) أو A/Kv أو A/Ka، أو حُلّها لإيجاد الكسب المطلوب.
  4. لمواصفة التخميد أو السرعة اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وطابقه مع s² + 2ζω_n·s + ω_n².

أخطاء شائعة

  • استخدام A/Kp بدل A/(1 + Kp) للخطوة.
  • نسيان كسب المحطة عند مطابقة المعاملات: فكسب الحلقة هو K مضروبًا في كسب المحطة.
  • إهمال مكامل المتحكم عند عدّ نوع النظام.
  • توقع أن يزيل الكسب التناسبي وحده خطأ الخطوة في حلقة من النوع 0.

الصيغ الأساسية

نوع النظام
عدد أقطاب G(s) عند s = 0
ثوابت الخطأ
Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s) (s → 0)
الخطوة A
ess = A/(1 + Kp)
المنحدر A·t
ess = A/Kv
القطع المكافئ A·t²/2
ess = A/Ka
المتحكم PID
C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
الهدف من الرتبة الثانية
s² + 2ζωns + ωn²
التجاوز والتوقيت
%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd, ts ≈ 4/(ζωn)

تعلّم خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID من البداية

قبل هذا: المخططات الصندوقية, الاستجابة الخطوية

1تتبّع أمر

تقارن حلقة التغذية العكسية الأمر r بالخرج y وتعمل على الخطأ e = r − y. والمثالي أن ينتهي الخرج عند الأمر تمامًا.

وغالبًا لا يحدث ذلك. فبعد أن تنتهي الحالة العابرة قد تبقى فجوة: هي خطأ الحالة المستقرة ess.

tyress​

يعتمد مقدار ess على نوع الدخل (خطوة أو منحدر أو قطع مكافئ) وعلى عدد المكاملات في الحلقة.

تحقّق ذاتي تتلقى حلقة تغذية عكسية وحدوية الدخل r = 1 ويستقر خرجها عند y = 0,95. ما خطأ الحالة المستقرة؟
  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 1,95
  4. −0,05

الإجابة: 0,05. ess = r − y = 1 − 0,95 = 0,05. أما الخرج نفسه فهو 0,95، والإشارة موجبة لأن الخرج يبقى دون الأمر.

2نوع النظام وثوابت الخطأ

نوع النظام هو عدد أقطاب الحلقة المفتوحة G(s) عند s = 0، أي عدد المكاملات. للدالة G(s) = 10/(s(s + 5)) مكامل واحد، فهي من النوع 1.

تلخّص ثلاثة ثوابت للخطأ سلوك G(s) عند الترددات المنخفضة جدًا (s → 0):

Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)

وبنظرية القيمة النهائية تعطي الخطأ لكل دخل:

الدرجة A: A/(1 + Kp) المنحدر A·t: A/Kv القطع المكافئ A·t²/2: A/Ka
  • النوع 0: خطأ خطوة منتهٍ، وخطأ منحدر لا نهائي.
  • النوع 1: خطأ خطوة صفر، وخطأ منحدر منتهٍ.
  • النوع 2: خطأ خطوة ومنحدر صفر، وخطأ قطع مكافئ منتهٍ.
تحقّق ذاتي ما ثابت خطأ السرعة Kv للدالة G(s) = 10/(s(s + 5))؟
  1. 0,5
  2. 10
  3. 2
  4. ∞

الإجابة: 2. s·G(s) = 10/(s + 5)، وهي 10/5 = 2 عند s = 0. أما القيمة 0,5 فهي خطأ المنحدر 1/Kv لا الثابت.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب الحلقة المفتوحة: المتحكم مضروبًا في المحطة، C(s)·G(s).
  2. عُدّ أقطابها عند s = 0 لإيجاد نوع النظام.
  3. اختر ثابت الخطأ المناسب للدخل: Kp للخطوة، وKv للمنحدر، وKa للقطع المكافئ.
  4. احسب النهاية: اختصر العوامل s ثم ضع s = 0 في الباقي.
  5. طبّق صيغة الخطأ، أو حُلّها لإيجاد الكسب الذي يعطي خطأً مطلوبًا.

لمواصفة التخميد أو السرعة اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وطابقه مع s² + 2ζωns + ωn².

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

لحلقة تغذية عكسية وحدوية G(s) = K/(s(s + 4)). يجب أن تتبع المنحدر r(t) = 2t بخطأ حالة مستقرة قدره 0,1. أوجد K ونسبة التخميد الناتجة.

1

أوجد نوع النظام

r+eK1/(s(s + 4))y−

لـ G(s) قطب واحد عند s = 0، فالحلقة من النوع 1: والمنحدر يعطي خطأً منتهيًا.

2

ثابت السرعة

Kv = lim s·G(s) = K/4
3

Kv المطلوب

ميل المنحدر A = 2، إذن ess = 2/Kv = 0,1.

Kv = 2/0,1 = 20
4

الكسب

K = 4·Kv = 80
5

تحقق من التخميد

كثير الحدود المميِّز هو s² + 4s + 80، إذن ωn = √80 = 8,94 rad/s وζ = 4/(2·8,94) = 0,22.

تتحقق مواصفة الخطأ، لكن استجابة الخطوة تتجاوز بنحو 49 %. وهذه المقايضة هي سبب كون المتحكمات أكثر من كسب واحد.

الإجابة

K = 80، مما يعطي ζ = 0,22.

5المتحكمات P وPI وPID

يجمع المتحكم PID ثلاثة تأثيرات على الخطأ:

C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s
  • التناسبي (Kp): حلقة أسرع وخطأ أصغر لمحطة من النوع 0، لكن خطأ الخطوة لا يبلغ الصفر أبدًا.
  • التكاملي (Ki/s): يضيف قطبًا عند s = 0، فيرتفع النوع بواحد وتُتبع الخطوة دون خطأ.
  • التفاضلي (Kd·s): يضيف تخميدًا ويقلل التجاوز.

لاختيار الكسوب طابِق المعاملات. يعطي متحكم PI على G(s) = 2/(s + 3) كثير الحدود المميِّز s² + (3 + 2Kp)s + 2Ki. وللقيمتين ωn = 5 rad/s وζ = 0,8 يكون الهدف s² + 8s + 25:

3 + 2Kp = 8 → Kp = 2,5, 2Ki = 25 → Ki = 12,5
تحقّق ذاتي يُضاف مكامل إلى متحكم حلقة من النوع 0. ماذا يحدث لخطأ الحالة المستقرة لخطوة وحدوية؟
  1. يصبح صفرًا
  2. يصبح لا نهائيًا
  3. يصغر لكنه لا يصبح صفرًا
  4. يكبر

الإجابة: يصبح صفرًا. يجعل المكامل الحلقة من النوع 1، فيصبح Kp لا نهائيًا وA/(1 + Kp) = 0. أما كسب تناسبي أكبر وحده فلن يجعل الخطأ إلا أصغر.

6أخطاء شائعة

  • استخدام A/Kp بدل A/(1 + Kp) للخطوة.
  • نسيان كسب المحطة عند مطابقة المعاملات: فكسب الحلقة هو كسب المتحكم مضروبًا في كسب المحطة.
  • عدّ مكاملات المحطة فقط وإغفال المكامل الموجود في متحكم PI.
  • إغفال الأصفار عند حساب Kv: فالعامل (s + 3) يساوي 3 عند s = 0.
تحقّق ذاتي تُطبَّق خطوة بحجم 5 على حلقة من النوع 0 فيها Kp = 9. ما خطأ الحالة المستقرة؟
  1. 0,1
  2. 0,556
  3. 0,5
  4. 4,5

الإجابة: 0,5. ess = 5/(1 + 9) = 0,5. القسمة على Kp وحده تعطي 0,556، وإغفال حجم الخطوة يعطي 0,1، والعدد 4,5 هو الخرج النهائي.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: نوع النظام وثوابت الخطأ. تجد النوع، أو Kp أو Kv أو Ka لدالة نقل، أو خطأ خطوة، أو الخرج النهائي لحلقة بتحكم P.
  • متوسط: أخطاء الحالة المستقرة والكسب. تجد الخطأ لمنحدر أو قطع مكافئ أو خطوة مع منحدر، أو الكسب الذي يعطي خطأً مطلوبًا.
  • صعب: تصميم P وPI وPD. تختار K لنسبة تخميد، أو تجد التجاوز أو زمن الذروة أو زمن الاستقرار لقيمة K معطاة، أو تختار كسوب PI أو PD بمطابقة المعاملات، أو تجد خطأ المنحدر مع متحكم PI.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R(s)+2(s + 2)s²(s + 2)C(s)−

لحلقة تغذية عكسية وحدوية دالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2)). أوجد ثابت خطأ التسارع Ka.

G(s) = 2(s + 2)/(s²(s + 2))

المطلوب: Ka

أظهر التلميحات
  1. K_a = lim s²·G(s) عندما s → 0.
  2. يختصر s² القطب المضاعف عند نقطة الأصل.
  3. Ka = 2·2/2.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.

ثابت التسارع

s²·G(s) = 2(s + 2)/(s + 2)
Ka = 2·2/2 = 2

الإجابة

Ka = 2
مثال 2متوسطة
R(s)+K(s + 2)(s + 5)C(s)−

لحلقة تغذية عكسية وحدوية G(s) = K/((s + 2)(s + 5)). أوجد الكسب K الذي يعطي خطأ حالة مستقرة قدره 2 % لدخل خطوة.

G(s) = K/((s + 2)(s + 5))ess = 2 %

المطلوب: K

أظهر التلميحات
  1. لخطوة وحدوية e_ss = 1/(1 + K_p).
  2. Kp = G(0) = K/10.
  3. 1/(1 + K/10) = 0,02.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

خطأ الحالة المستقرة: في حلقة تغذية عكسية وحدوية بدالة نقل الحلقة المفتوحة G(s) يكون الخطأ E(s) = R(s)/(1 + G(s))، وبنظرية القيمة النهائية ess = lims→0 s·E(s). نوع النظام هو عدد أقطاب G(s) عند s = 0. ثوابت الخطأ هي Kp = lim G(s) وKv = lim s·G(s) وKa = lim s²·G(s)، كلها عندما s → 0. تعطي دالة خطوة بحجم A الخطأ ess = A/(1 + Kp)، وتعطي دالة منحدرة A·t الخطأ A/Kv، وتعطي دالة قطع مكافئ A·t²/2 الخطأ A/Ka. تتبع حلقة من النوع 0 دالة الخطوة بخطأ منتهٍ، أما حلقة من النوع 1 فتتبعها تمامًا وتتبع دالة المنحدر بخطأ منتهٍ.

ثابت الخطأ المطلوب

1/(1 + Kp) = 0,02 → Kp = 49

الكسب

K/10 = 49 → K = 490

الإجابة

K = 490

تحقق أيضًا من استقرار الحلقة المغلقة: في هذه الحلقة من الرتبة الثانية يكون أي K > 0 مستقرًا.

مثال 3صعبة
R(s)+K = 85s(s + 2)C(s)−

يتحكم متحكم تناسبي K = 8 في المحطة G(s) = 5/(s(s + 2)) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد زمن الاستقرار ts عند 2 % للاستجابة الخطوية باستخدام ts ≈ 4/(ζωₙ).

G(s) = 5/(s(s + 2))K = 8

المطلوب: ts (s)

أظهر التلميحات
  1. كثير الحدود المميِّز هو s² + 2s + 40.
  2. ζωₙ هو نصف معامل s: 2/2 = 1.
  3. ts ≈ 4/(ζωₙ).
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التحكم P وPI وPID: يعمل المتحكم C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s على الخطأ. الكسب التناسبي يجعل الحلقة أسرع ويقلل خطأ محطة من النوع 0، لكنه لا يزيله أبدًا. يضيف الحد التكاملي قطبًا عند s = 0: فيرتفع نوع النظام بواحد، وتُتبع الخطوة دون خطأ. ويضيف الحد التفاضلي تخميدًا. لاختيار الكسوب اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وقارنه بـ s² + 2ζωns + ωn². عندئذٍ %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²)، وtp = π/ωd مع ωd = ωn√(1 − ζ²)، وts ≈ 4/(ζωn).

كثير الحدود المميِّز

s(s + 2) + 8·5 = s² + 2s + 40

ωₙ وζ

ωₙ = √40 = 6,325 rad/s
ζ = 2/(2·6,325) = 0,1581

زمن الاستقرار

ζωₙ = 2/2 = 1
ts ≈ 4/1 = 4 s

الإجابة

ts = 4 s

لا يعتمد زمن الاستقرار هنا على K: فرفع K لا يجعل الاستجابة إلا أسرع تذبذبًا.

أسئلة وأجوبة

ما هو خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID؟

تقارن حلقة التغذية العكسية الأمر r بالخرج y وتعمل على الخطأ e = r − y. والمثالي أن ينتهي الخرج عند الأمر تمامًا.

وغالبًا لا يحدث ذلك. فبعد أن تنتهي الحالة العابرة قد تبقى فجوة: هي خطأ الحالة المستقرة ess.

كيف تحل مسائل خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID خطوة بخطوة؟
  1. عُدّ أقطاب الحلقة المفتوحة C(s)·G(s) عند s = 0: فذلك هو نوع النظام.
  2. احسب ثابت الخطأ المناسب للدخل: Kp للخطوة، وKv للمنحدر، وKa للقطع المكافئ.
  3. طبّق ess = A/(1 + Kp) أو A/Kv أو A/Ka، أو حُلّها لإيجاد الكسب المطلوب.
  4. لمواصفة التخميد أو السرعة اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة وطابقه مع s² + 2ζω_n·s + ω_n².
ما الأخطاء الشائعة في خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID؟
  • استخدام A/Kp بدل A/(1 + Kp) للخطوة.
  • نسيان كسب المحطة عند مطابقة المعاملات: فكسب الحلقة هو K مضروبًا في كسب المحطة.
  • إهمال مكامل المتحكم عند عدّ نوع النظام.
  • توقع أن يزيل الكسب التناسبي وحده خطأ الخطوة في حلقة من النوع 0.
ماذا تغطي تمارين خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID؟
  • سهلة: نوع النظام وثوابت الخطأ
  • متوسطة: أخطاء الحالة المستقرة والكسب
  • صعبة: تصميم P وPI وPD

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المخططات الصندوقيةالاستجابة الخطوية

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

هندسة التحكم 1هندسة التحكم 2: تصميم التحكم بالتغذية الراجعةالنظم الميكاترونيةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوبالتدريب لاختبار FE للهندسة الميكانيكية

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID مع الإجابات
تدرّب على خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID مجانًاتدرّب على خطأ الحالة المستقرة والتحكم PID الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.