تحليل العقد: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في تحليل العقد مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: عقدة مجهولة واحدة, عقدتان مجهولتان, عقدتان، 3 مصادر.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
R1​ = 12 ΩIR1​R2​ = 10 Ω+−V1​8 VR3​4 ΩA+−V2​6 V

استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار IR1 المارّ في R1 باتجاه السهم.

V1 = 8 VV2 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 10 ΩR3 = 4 Ω
A
المسألة التالية →
تدرّب على تحليل العقد مجانًاتدرّب على تحليل العقد الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةعقدة مجهولة واحدة
  2. متوسطةعقدتان مجهولتان
  3. صعبةعقدتان، 3 مصادر

كيف تحلّ مسائل تحليل العقد

  1. اختر عقدة مرجعية (الأرضي) وسمِّ جهود العقد الأخرى.
  2. اكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة: التيارات الخارجة عبر الفروع تساوي التيارات الداخلة.
  3. عبّر عن كل تيار فرع بالصيغة (Va − Vb)/R.
  4. حلّ نظام المعادلات، ثم أوجد أي تيار تحتاجه.

أخطاء شائعة

  • الخلط في إشارة تيار الفرع بين معادلتي العقدتين.
  • كتابة معادلة للعقدة المرجعية.
  • نسيان مصدر تيار يدخل العقدة أو يخرج منها.

الصيغ الأساسية

قانون كيرشوف للتيار
ΣIin = ΣIout
تيار الفرع
I = (Va − Vb)/R
العقدة المرجعية
Vground = 0

تعلّم تحليل العقد من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي

1ما هو التحليل العقدي

التحليل العقدي طريقة قياسية لإيجاد كل الجهود في دائرة. وهو يعمل حتى حين لا تكفي قواعد التوالي والتوازي.

العقدة نقطة يلتقي عندها جزءان أو أكثر من الدائرة. ويُعدّ امتداد كامل من سلك عادي عقدة واحدة، لأن السلك لا هبوط جهد فيه.

تختار عقدة واحدة مرجعًا، وتسمى أيضًا الأرضي (ground)، وتعطيها 0 V. وكل جهود العقد الأخرى تُقاس منها.

فكّر في الارتفاعات على الخريطة، مقيسة من مستوى سطح البحر. يجري الماء من العالي إلى المنخفض، ويتوقف الجريان في أنبوب على فرق الارتفاع بين طرفيه.

متى عرفت جهود العقد، يعطيك قانون أوم كل تيار. إذن جهود العقد هي المجاهيل الوحيدة التي تحتاجها.

تحقّق ذاتي أي عقدة جهدها 0 V بالتعريف؟
  1. العقدة المجاورة لأكبر مصدر
  2. العقدة ذات أكبر عدد من المقاومات
  3. عقدة المرجع (الأرضي) التي اخترتها
  4. كل عقدة بلا مصدر

الإجابة: عقدة المرجع (الأرضي) التي اخترتها. أنت تختار عقدة المرجع بنفسك وتسميها 0 V. وكل جهود العقد الأخرى تُقاس منها.

2قانون كيرشوف للتيار

لا تتراكم الشحنة في عقدة. لذا فكل التيار الداخل إلى عقدة يجب أن يخرج منها مرة أخرى. وهذا هو قانون كيرشوف للتيار (KCL).

ΣIin = ΣIout

مثلًا إذا تدفق 3 A و2 A إلى عقدة، فيجب أن يغادرها 5 A في المجموع عبر الفروع الأخرى.

تكتب التيار في كل مقاومة بقانون أوم، باستخدام الجهدين عند طرفيها:

Va​Vb​RI
I = (Va − Vb) / R

هذا هو التيار من a إلى b. وإذا كانت النتيجة سالبة فالتيار يتدفق فعلًا من b إلى a. لا بأس: احتفظ بالإشارة.

تحقّق ذاتي العقدة a عند 9 V والعقدة b عند 4 V. تصل بينهما مقاومة 5 Ω. ما التيار المتدفق من a إلى b؟
  1. 1 A
  2. 1,8 A
  3. 2,6 A
  4. −1 A

الإجابة: 1 A. I = (9 − 4)/5 = 1 A. وجمع الجهدين يعطي 2,6 A، وتبديلهما يعطي −1 A، و1,8 A تتجاهل الجهد عند b.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. اختر عقدة المرجع. السلك السفلي هو الاختيار المعتاد. علّمه برمز الأرضي.
  2. ابحث عن العقد التي تعرف جهدها أصلًا. العقدة الموصولة بالأرضي عبر مصدر جهد تكون عند جهد ذلك المصدر.
  3. سمِّ كل عقدة أخرى (A وB و…). جهودها VA وVB و… هي المجاهيل.
  4. عند كل عقدة مجهولة، اكتب KCL: التيارات الخارجة عبر المقاومات تجمع إلى التيار الذي يدفعه مصدر التيار إلى الداخل.
  5. اكتب تيار كل مقاومة على الشكل (Vالعقدة − Vالطرف الآخر)/R، ثم حُلّ المعادلات.
  6. استخدم قانون أوم لإيجاد أي تيار فرع يطلبه السؤال.

كتابة تيار كل مقاومة على أنه خارج من العقدة تجعل الإشارات تلقائية. ولا حاجة إلى تخمين الاتجاهات الحقيقية أولًا.

تحتاج إلى معادلة واحدة لكل عقدة مجهولة. لا تكتب أبدًا معادلة لعقدة المرجع: جهدها معروف أصلًا.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد جهد العقدة VA والتيار IR1 المار في R1، من المصدر نحو A.

1

انظر إلى الدائرة

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 VVA​ ?

السلك السفلي هو الأرضي. وأعلى V1 أعلى من الأرضي بـ 15 V، فتلك العقدة معروفة: 15 V.

العقدة A وحدها مجهولة، فتحتاج إلى معادلة واحدة.

2

اكتب KCL عند A

تخرج مقاومتان من A: R1 تذهب إلى العقدة 15 V وR2 تذهب إلى الأرضي. ويدفع مصدر التيار 1 A إلى A.

(VA − 15)/3 + VA/6 = 1
3

حُلّ لإيجاد VA

اضرب الطرفين في 6 لإزالة الكسور.

2·(VA − 15) + VA = 6
3·VA − 30 = 6 ⇒ VA = 12 V
4

أوجد التيار في R₁

IR1 = (15 − 12)/3 = 1 A

النتيجة موجبة، فيتدفق 1 A فعلًا من المصدر نحو A.

5

تحقّق من الإجابة

+−V1​15 VR1​ = 3 ΩR2​6 ΩIs​1 AA15 V1 A2 A

تحمل R2 ما مقداره 12/6 = 2 A نزولًا إلى الأرضي. ويتدفق إلى A ما مقداره 1 A عبر R1 و1 A من مصدر التيار.

هذا 2 A داخلة و2 A خارجة، فيتحقق KCL عند A.

الإجابة

VA = 12 V وIR1 = 1 A.

5عقدتان مجهولتان

مع عقدتين مجهولتين تكتب معادلة KCL واحدة عند كل عقدة وتحل المعادلتين معًا.

+−V1​6 VR1​ = 2 ΩR3​ = 3 ΩR2​3 ΩR4​3 ΩIs​2 AAB

عند العقدة A تخرج ثلاث مقاومات: R1 وR2 وR3. وعند العقدة B تخرج مقاومتان ويدفع مصدر التيار 2 A إلى الداخل.

A: (VA − 6)/2 + VA/3 + (VA − VB)/3 = 0
B: (VB − VA)/3 + VB/3 = 2

اضرب المعادلة الأولى في 6 والثانية في 3:

7·VA − 2·VB = 18
−VA + 2·VB = 6

اجمع المعادلتين. تُختزل حدود VB، فيكون 6·VA = 24.

VA = 4 V, VB = 5 V

لاحظ أن R3 تظهر في المعادلتين، على شكل (VA − VB) عند A وعلى شكل (VB − VA) عند B. وهذا فحص سريع لصحة معادلاتك.

6أخطاء شائعة

  • الخطأ في إشارة مقاومة مشتركة: هي (VA − VB) عند A، لكنها (VB − VA) عند B.
  • نسيان مصدر تيار يدخل العقدة أو يخرج منها.
  • كتابة معادلة KCL لعقدة المرجع، أو معاملة عقدة معروفة على أنها مجهولة.
  • حذف الإشارة السالبة لتيار سالب. النتيجة السالبة تعني أن التيار يتدفق عكس السهم.
تحقّق ذاتي عند العقدة A، مقاومة 4 Ω تذهب إلى الأرضي ومقاومة 4 Ω أخرى تذهب إلى عقدة 12 V. ويدفع مصدر 2 A تيارًا إلى A. ما VA؟
  1. 10 V
  2. 12 V
  3. 2 V
  4. 6 V

الإجابة: 10 V. (VA − 12)/4 + VA/4 = 2 يعطي 2·VA − 12 = 8، إذن VA = 10 V. ونسيان المصدر يعطي 6 V؛ ومعاملته على أنه يخرج من A يعطي 2 V.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: عقدة مجهولة واحدة A، مع مصدر جهد ومصدر تيار أو مصدر جهد ثانٍ. تكفي معادلة KCL واحدة.
  • متوسط: عقدتان مجهولتان A وB، مع مصدر تيار عند B. اكتب معادلتين وحلهما معًا.
  • صعب: عقدتان مجهولتان وثلاثة مصادر: مصدرا جهد ومصدر تيار. الطريقة نفسها، بحدود أكثر.

يطلب السؤال جهد عقدة، أو التيار المار في مقاومة في اتجاه السهم.

لتيار فرع، أوجد جهود العقد أولًا. ثم استخدم I = (Vالبداية − Vالنهاية)/R على امتداد السهم.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R1​8 Ω+−V1​20 VR2​3 Ω+−V2​18 VR3​2 Ω+−V3​8 VA

ثلاثة فروع موصولة بين العقدة A والأرضي، كما هو موضّح. استخدم تحليل العقد لإيجاد جهد العقدة VA.

V1 = 20 VR1 = 8 ΩV2 = 18 VR2 = 3 ΩV3 = 8 VR3 = 2 Ω

المطلوب: VA (V)

أظهر التلميحات
  1. العقدة A وحدها مجهولة. اكتب معادلة واحدة لقانون كيرشوف للتيار: مجموع تيارات الفروع الخارجة من A يساوي صفرًا.
  2. كل تيار فرع هو (VA − Vk)/Rk. اجمع حدود VA في طرف واحد.
  3. Σ1/R = 0,9583 S.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

اعتبر السلك السفلي هو الأرضي. كل فرع يحمل (VA − Vk)/Rk خارجًا من A، حيث Vk جهد مصدره (صفر للمقاومة وحدها). مجموع التيارات الخارجة من A يساوي صفرًا.

(VA − 20)/8 + (VA − 18)/3 + (VA − 8)/2 = 0

حلّ لإيجاد VA

VA = (20/8 + 18/3 + 8/2) / (1/8 + 1/3 + 1/2) = 12,5/0,9583 = 13,04 V

الإجابة

VA = 13,04 V
مثال 2متوسطة
−+Vs​ = 3 VIx​Is​1,5 AAR1​6 ΩR2​3 ΩB

مصدر الجهد Vₛ بين A و B طرفه + عند B، لذا يجعل VB − VA = Vₛ. استخدم تحليل العقد مع عقدة فائقة لإيجاد التيار Ix في مصدر الجهد، من A إلى B كما يوضّح السهم.

Is = 1,5 AVs = 3 VR1 = 6 ΩR2 = 3 Ω

المطلوب: Ix (A)

أظهر التلميحات
  1. مصدر الجهد بين عقدتين غير أرضيتين يثبّت الفرق بينهما: VB − VA = Vs.
  2. اكتب معادلة واحدة لقانون كيرشوف للتيار للعقدة الفائقة المحيطة بـ A و B والمصدر: VA/R₁ + VB/R₂ = Is.
  3. VA = 1 V.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.

كوّن عقدة فائقة

مصدر الجهد بين A و B يحمل تيارًا مجهولًا، لذا لا يمكن كتابة قانون كيرشوف للتيار عند A أو B منفصلتين. احصر A و B والمصدر في عقدة فائقة واحدة: التيار الداخل إليها يساوي التيار الخارج منها.

VB = VA + Vs = VA + 3
VA/R1 + VB/R2 = Is

الحل

VA/6 + (VA + 3)/3 = 1,5
VA = (1,5 − 3/3)/(1/6 + 1/3) = 1 V
VB = 1 + 3 = 4 V

التيار في مصدر الجهد

كل ما يمرّ عبر المصدر من A إلى B يخرج من العقدة B عبر R₂.

Ix = VB/R2 = 4/3 = 1,333 A

الإجابة

Ix = 1,333 A

النتيجة السالبة تعني أن التيار الفعلي يجري عكس السهم.

مثال 3صعبة
R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 ΩIR4​+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

استخدم تحليل العقد لإيجاد التيار IR4 المارّ في R4 باتجاه السهم.

V1 = 6 VIs = 0,5 AV2 = 9 VR1 = 20 ΩR2 = 20 ΩR3 = 30 ΩR4 = 20 ΩR5 = 30 Ω

المطلوب: IR4 (A)

أظهر التلميحات
  1. اعتبر السلك السفلي أرضيًا (0 V). العقد المتصلة مباشرة بمصدر جهد معروفة مسبقًا، لذا المجاهيل هي VA و VB.
  2. اكتب قانون كيرشوف للتيار عند A: لكل مقاومة (VA − Vالطرف الآخر)/R، واجعل مجموعها مساويًا لأي تيار مصدر يدخل A.
  3. الحل يعطي VA = 2,455 V. ثم IR4 = (الجهد عند ذيل السهم − الجهد عند رأسه)/R4.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

تحليل العقد: اختر عقدة مرجعية، وسمِّ جهود العقد المجهولة، واكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة باستخدام قانون أوم (I = ΔV/R)، ثم حلّ المعادلات الناتجة.

R1​ = 20 ΩR2​ = 20 ΩR4​ = 20 Ω+−V1​6 VR3​30 ΩAR5​30 ΩBIs​0,5 A+−V2​9 V

حدّد العقد

الأرضي هو السلك السفلي. جهود العقد المعروفة تأتي مباشرة من المصادر (V1 = 6 V, V2 = 9 V). المجاهيل: VA, VB.

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة A

التيارات الخارجة من A عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى A.

VA/R3 + (VA − V1)/R1 + (VA − VB)/R2 = 0
VA/30 + (VA − 6)/20 + (VA − VB)/20 = 0
0,1333·VA − 0,05·VB = 0,3

قانون كيرشوف للتيار عند العقدة B

التيارات الخارجة من B عبر المقاومات تساوي التيار الذي تدفعه المصادر إلى B.

VB/R5 + (VB − VA)/R2 + (VB − V2)/R4 = Is
VB/30 + (VB − VA)/20 + (VB − 9)/20 = (−0,5)
−0,05·VA + 0,1333·VB = −0,05

الحل

Δ = (0,1333)(0,1333) − (−0,05)(−0,05) = 0,01528
VA = Δ1/Δ = 0,0375/0,01528 = 2,455 V
VB = Δ2/Δ = 0,008333/0,01528 = 0,5455 V

الإجابة

IR4 = (VB − V2)/R4 = (0,5455 − 9)/20 = −0,4227 A

أسئلة وأجوبة

ما هو تحليل العقد؟

التحليل العقدي طريقة قياسية لإيجاد كل الجهود في دائرة. وهو يعمل حتى حين لا تكفي قواعد التوالي والتوازي.

تختار عقدة واحدة مرجعًا، وتسمى أيضًا الأرضي (ground)، وتعطيها 0 V. وكل جهود العقد الأخرى تُقاس منها.

كيف تحل مسائل تحليل العقد خطوة بخطوة؟
  1. اختر عقدة مرجعية (الأرضي) وسمِّ جهود العقد الأخرى.
  2. اكتب قانون كيرشوف للتيار عند كل عقدة مجهولة: التيارات الخارجة عبر الفروع تساوي التيارات الداخلة.
  3. عبّر عن كل تيار فرع بالصيغة (Va − Vb)/R.
  4. حلّ نظام المعادلات، ثم أوجد أي تيار تحتاجه.
ما الأخطاء الشائعة في تحليل العقد؟
  • الخلط في إشارة تيار الفرع بين معادلتي العقدتين.
  • كتابة معادلة للعقدة المرجعية.
  • نسيان مصدر تيار يدخل العقدة أو يخرج منها.
ماذا تغطي تمارين تحليل العقد؟
  • سهلة: عقدة مجهولة واحدة
  • متوسطة: عقدتان مجهولتان
  • صعبة: عقدتان، 3 مصادر

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازي

ثم تابع مع

دوائر مكبّرات العمليات

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 1أساسيات الهندسة الكهربائيةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل تحليل العقد مع الإجابات
تدرّب على تحليل العقد مجانًاتدرّب على تحليل العقد الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.