التراكب: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في التراكب مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: مصدرا جهد, مصدر جهد + مصدر تيار, 3 مصادر.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
R1​ = 8 ΩIR1​R2​ = 2 Ω+−V1​15 VR3​12 ΩA+−V2​8 V

استخدم مبدأ التراكب لإيجاد التيار IR1 المارّ في R1 باتجاه السهم.

V1 = 15 VV2 = 8 VR1 = 8 ΩR2 = 2 ΩR3 = 12 Ω
A
المسألة التالية →
تدرّب على التراكب مجانًاتدرّب على التراكب الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةمصدرا جهد
  2. متوسطةمصدر جهد + مصدر تيار
  3. صعبة3 مصادر

كيف تحلّ مسائل التراكب

  1. عُدّ المصادر المستقلة. ستحلّ دائرة أبسط واحدة لكل مصدر.
  2. أبقِ مصدرًا واحدًا وأطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا (سلكًا)، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة (فجوة).
  3. حلّ الدائرة الأبسط لإيجاد الجهد أو التيار المطلوب، مع متابعة اتجاهه.
  4. كرّر ذلك لكل مصدر، ثم اجمع المساهمات بإشاراتها.

أخطاء شائعة

  • إزالة مصدر الجهد بدل استبداله بسلك.
  • جمع المساهمات دون التحقق من اتجاهاتها.
  • استخدام التراكب للقدرة: القدرة ليست خطية، لذا أوجد التيار الكلي أولًا ثم القدرة.

الصيغ الأساسية

التراكب
x = x1 + x2 + … (one source at a time)
مصدر جهد مُطفأ
قصر (0 V)
مصدر تيار مُطفأ
دائرة مفتوحة (0 A)
مقسّم الجهد
V2 = V·R2/(R1 + R2)
مقسّم التيار
I1 = I·R2/(R1 + R2)

تعلّم التراكب من البداية

قبل هذا: المقاومات على التوالي والتوازي

1ما هو التراكب

كثير من الدوائر فيها أكثر من مصدر: بطاريتان، أو بطارية ومصدر تيار.

قد يكون حلّها كلها دفعة واحدة صعبًا. يتيح لك التراكب تقسيم المسألة إلى أجزاء أبسط.

الفكرة: كل مصدر يدفع تياره الخاص عبر الدائرة. التيار الحقيقي في مقاومة هو مجموع ما يسبّبه كل مصدر وحده.

تخيّل صنبورين يملآن حوض الاستحمام نفسه. يرتفع مستوى الماء بما يضيفه الصنبور الأول زائد ما يضيفه الصنبور الثاني.

تحقّق ذاتي ماذا يتيح لك التراكب أن تفعل؟
  1. استبدل كل المقاومات بمقاومة واحدة
  2. اضرب آثار المصادر
  3. تجاهل كل المصادر ما عدا أكبرها
  4. حلّ الدائرة مرة لكل مصدر واجمع النتائج

الإجابة: حلّ الدائرة مرة لكل مصدر واجمع النتائج. تنظر إلى مصدر واحد في كل مرة، وتجد ما يسبّبه، وتجمع كل الإسهامات في النهاية.

2إطفاء مصدر

للنظر إلى مصدر وحده، تُطفئ المصادر الأخرى. الإطفاء يعني جعل المصدر صفرًا.

  • مصدر الجهد المضبوط على 0 V يصبح سلكًا عاديًا (قصرًا).
  • مصدر التيار المضبوط على 0 A يصبح فجوة (دائرة مفتوحة).
+−0 V0 A

تُطفأ المصادر فقط. كل مقاومة تبقى في مكانها تمامًا.

يصلح هذا للدوائر المكوّنة من مقاومات ومصادر مستقلة. تُسمّى هذه الدوائر خطية: مضاعفة مصدر تضاعف كل ما يسبّبه.

تحقّق ذاتي كيف تُطفئ مصدر تيار؟
  1. أزل المقاومة المجاورة له
  2. استبدله بدائرة مفتوحة (فجوة)
  3. استبدله بقصر (سلك)
  4. استبدله بمقاومة 1 Ω

الإجابة: استبدله بدائرة مفتوحة (فجوة). مصدر التيار المُطفأ يحمل 0 A. والفجوة هي الشيء الوحيد الذي لا يمرّر أي تيار أيًّا كان الجهد.

3الأدوات التي تحتاجها

كل دائرة أبسط فيها مصدر واحد فقط، لذا يمكنك حلّها بالمقاومات على التوالي والتوازي.

Rseries = R1 + R2
Rparallel = R1·R2 / (R1 + R2)

مقسّم الجهد هو الأداة الأكثر استخدامًا. مقاومتان على التوالي تتقاسمان جهد المصدر بنسبة قيمتيهما:

V2 = V · R2 / (R1 + R2)

ثم يعطي قانون أوم، I = V/R، التيار في أي مقاومة بمجرد معرفة جهدها.

تحقّق ذاتي مصدر 12 V يغذّي 6 Ω و 2 Ω على التوالي. ما الجهد على المقاومة 2 Ω؟
  1. 3 V
  2. 4 V
  3. 6 V
  4. 9 V

الإجابة: 3 V. V = 12 · 2/(6 + 2) = 3 V. المقاومة الأصغر تحصل على الحصة الأصغر من الجهد.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. عُدّ المصادر المستقلة. ستحلّ دائرة أبسط واحدة لكل منها.
  2. أبقِ مصدرًا واحدًا وأطفئ كل المصادر الأخرى: مصادر الجهد تصبح أسلاكًا، ومصادر التيار تصبح فجوات.
  3. حلّ الدائرة الأبسط لإيجاد الكمية التي تحتاجها. حافظ على الاتجاه نفسه (أو + و − نفسيهما) كما في السؤال.
  4. كرّر لكل مصدر.
  5. اجمع كل الإسهامات بإشاراتها. الإسهام في الاتجاه المعاكس يُحسب سالبًا.

ارسم كل دائرة أبسط قبل أن تحسب. معظم الأخطاء تأتي من النظر إلى الرسم الأصلي أثناء حلّ دائرة مختلفة.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

أوجد التيار I3 في R3 (إلى الأسفل) في هذه الدائرة.

1

انظر إلى الدائرة

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V+−V2​6 V

يوجد مصدران، V1 = 12 V و V2 = 6 V. لذا نحلّ دائرتين أبسط.

2

V₁ وحده يعمل

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A+−V1​12 V0 V

استبدل V2 بسلك. الآن يمتدّ R2 من العقدة A مباشرةً إلى السلك السفلي، لذا R2 و R3 على التوازي.

R2 ∥ R3 = 6·3 / (6 + 3) = 2 Ω
3

مقسّم الجهد لـ V₁

يرى V1 المقاومة R1 = 6 Ω على التوالي مع زوج التوازي 2 Ω. الجهد عند A هو حصة الجزء 2 Ω:

VA′ = 12 · 2 / (6 + 2) = 3 V
I3′ = 3 V / 3 Ω = 1 A
4

V₂ وحده يعمل

R1​ = 6 ΩR2​ = 6 ΩR3​3 ΩI3​A0 V+−V2​6 V

الآن استبدل V1 بسلك. R1 و R3 على التوازي: 6·3/(6 + 3) = 2 Ω.

VA″ = 6 · 2 / (6 + 2) = 1,5 V
I3″ = 1,5 V / 3 Ω = 0,5 A
5

اجمع المساهمات

كلا الإسهامين يجري إلى الأسفل في R3، لذا كلاهما موجب.

I3 = I3′ + I3″ = 1 + 0,5 = 1,5 A
6

تحقّق من الإجابة

مع تشغيل المصدرين، VA = 3 + 1,5 = 4,5 V. التياران الداخلان إلى A من الجانبين (12 − 4,5)/6 = 1,25 A و (6 − 4,5)/6 = 0,25 A.

مجموعهما 1,5 A، وهو بالضبط التيار الخارج عبر R3. الإجابة صحيحة.

الإجابة

I3 = 1,5 A، يجري إلى الأسفل.

6أخطاء شائعة

  • إزالة مصدر الجهد وترك فجوة. مصدر الجهد المُطفأ سلك.
  • جمع الإسهامات دون التحقّق من اتجاهاتها. ارسم سهمًا لكل إسهام.
  • حساب القدرة بالتراكب. القدرة ليست خطية: أوجد التيار الكلي أولًا، ثم P = I²·R.
  • نسيان مصدر. مع ثلاثة مصادر تحتاج إلى ثلاث دوائر أبسط.
تحقّق ذاتي في المثال، I₃′ = 1 A و I₃″ = 0,5 A في مقاومة 3 Ω. ما القدرة التي يأخذها R₃؟
  1. 2,25 W
  2. 3,75 W
  3. 4,5 W
  4. 6,75 W

الإجابة: 6,75 W. اجمع التيارين أولًا: 1,5 A. ثم P = 1,5² · 3 = 6,75 W. جمع القدرتين المنفصلتين (3 + 0,75 = 3,75 W) خطأ لأن القدرة ليست خطية.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: مصدرا جهد وثلاث مقاومات. كل دائرة أبسط مقسّم جهد.
  • متوسط: مصدر جهد ومصدر تيار. تذكّر أن مصدر التيار المُطفأ يصبح فجوة.
  • صعب: ثلاثة مصادر، والمطلوب قد يكون جهد عقدة أو تيار فرع.

بعض الأسئلة تعطي قياسات فقط. مثلًا: مع تشغيل المصدرين يكون التيار 6,5 mA، ومع إطفاء V2 يكون 4,5 mA. إذن V2 وحده يسبّب 2 mA.

لأن الدائرة خطية، مضاعفة V1 تضاعف إسهامه. استخدم هذا لتوقّع التيار بعد تغيّر مصدر.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 Ω+−VR3​A+−V2​18 V

استخدم مبدأ التراكب لإيجاد الجهد VR3 على طرفي R3 بالقطبية الموضّحة.

V1 = 18 VV2 = 18 VR1 = 10 ΩR2 = 12 ΩR3 = 2 Ω

المطلوب: VR3 (V)

أظهر التلميحات
  1. في هذه الدائرة 2 مصادر مستقلة، لذا حلّ 2 دوائر أبسط، واحدة لكل مصدر. أطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة.
  2. عند تفعيل V₁ وحده، يصبح R₂ و R₃ على التوازي. استخدم مقسّم الجهد لإيجاد الجهد عند العقدة A.
  3. عند تفعيل V1 وحده، VR3′ = 2,634 V. أوجد المساهمة الأخرى بالطريقة نفسها واجمعهما.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.

R1​ = 10 ΩR2​ = 12 Ω+−V1​18 VR3​2 ΩAقصر

الحالة 1 · V1 يعمل وحده

يصبح V₂ قصرًا، فيمتد R₂ الآن من A إلى الأرضي، على التوازي مع R₃.

R2 ∥ R3 = 12·2/(12+2) = 1,714 Ω
VA = V1·(R2∥R3)/(R1+R2∥R3) = 18·1,714/(10+1,714) = 2,634 V
VR3′ = VA − 0 = 2,634 − 0 = 2,634 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 12 ΩقصرR3​2 ΩA+−V2​18 V

الحالة 2 · V2 يعمل وحده

يصبح V₁ قصرًا، فيمتد R₁ الآن من A إلى الأرضي، على التوازي مع R₃.

R1 ∥ R3 = 10·2/(10+2) = 1,667 Ω
VA = V2·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 18·1,667/(12+1,667) = 2,195 V
VR3″ = VA − 0 = 2,195 − 0 = 2,195 V

اجمع المساهمات

VR3 = VR3′ + VR3″
VR3 = 2,634 + 2,195 = 4,829 V

النتيجة السالبة تعني أن القطبية معاكسة للمعلَّمة في الواقع.

مثال 2متوسطة
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩIR4​BIs​2 A

استخدم مبدأ التراكب لإيجاد القدرة PR4 التي يمتصها R4.

V1 = 6 VIs = 2 AR1 = 15 ΩR2 = 6 ΩR3 = 8 ΩR4 = 12 Ω

المطلوب: PR4 (W)

أظهر التلميحات
  1. في هذه الدائرة 2 مصادر مستقلة، لذا حلّ 2 دوائر أبسط، واحدة لكل مصدر. أطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة.
  2. أوجد التيار IR4 في R4 بمبدأ التراكب، ثم ربّعه: P = I²R.
  3. عند تفعيل V1 وحده، IR4′ = 0,07059 A.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.

R1​ = 15 ΩR3​ = 8 Ω+−V1​6 VR2​6 ΩAR4​12 ΩBمفتوح

الحالة 1 · V1 يعمل وحده

يصبح Iₛ دائرة مفتوحة، فيشكّل R₃ و R₄ فرعًا واحدًا على التوالي من A إلى الأرضي، على التوازي مع R₂.

R3+R4 = 8+12 = 20 Ω
R2 ∥ (R3+R4) = 6·20/(6+20) = 4,615 Ω
VA = 6·4,615/(15+4,615) = 1,412 V
VB = VA·R4/(R3+R4) = 1,412·12/20 = 0,8471 V
IR4′ = (VB − 0)/R4 = (0,8471 − 0)/12 = 0,07059 A
R1​ = 15 ΩR3​ = 8 ΩقصرR2​6 ΩAR4​12 ΩBIs​2 A

الحالة 2 · Is يعمل وحده

يصبح V₁ قصرًا، فيكون R₁ على التوازي مع R₂. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ والمسار عبر R₃.

R1 ∥ R2 = 15·6/(15+6) = 4,286 Ω
Req = R4 ∥ (R3+R1∥R2) = 12 ∥ 12,29 = 6,071 Ω
VB = Is·Req = 2·6,071 = 12,14 V
VA = VB·(R1∥R2)/(R3+R1∥R2) = 12,14·4,286/12,29 = 4,235 V
IR4″ = (VB − 0)/R4 = (12,14 − 0)/12 = 1,012 A

اجمع إسهامات التيار

IR4 = IR4′ + IR4″ = 0,07059 + 1,012 = 1,082 A

القدرة في المقاومة

تعتمد القدرة على مربّع التيار، لذا لا تخضع لمبدأ التراكب: اجمع التيارات أولًا، ثم ربّع.

PR4 = IR4²·R4 = 1,082²·12 = 14,06 W

الإجابة

PR4 = 14,06 W

جمع قدرات الحالات المنفصلة يعطي 12,34 W، وهذا خطأ.

مثال 3صعبة
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 Ω+−VR2​R4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAIs​1 AB+−V2​15 V

استخدم مبدأ التراكب لإيجاد الجهد VR2 على طرفي R2 بالقطبية الموضّحة.

V1 = 12 VIs = 1 AV2 = 15 VR1 = 10 ΩR2 = 4 ΩR3 = 8 ΩR4 = 25 Ω

المطلوب: VR2 (V)

أظهر التلميحات
  1. في هذه الدائرة 3 مصادر مستقلة، لذا حلّ 3 دوائر أبسط، واحدة لكل مصدر. أطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة.
  2. ابدأ بـ V₁ وحده: اقصر V₂ وافتح Iₛ. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع R₂+R₄.
  3. عند تفعيل V1 وحده، VR2′ = 0,6379 V. أوجد المساهمات الأخرى بالطريقة نفسها واجمعها.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

التراكب: في الدائرة الخطية، أي جهد أو تيار هو مجموع الاستجابات لكل مصدر مستقل يعمل وحده. لإطفاء مصدر، استبدل مصدر الجهد المثالي بـقصر ومصدر التيار المثالي بـدائرة مفتوحة. تبقى المقاومات في مكانها.

R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 Ω+−V1​12 VR3​8 ΩAمفتوحBقصر

الحالة 1 · V1 يعمل وحده

يصبح V₂ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. من جهة A يكون R₃ على التوازي مع الزوج المتوالي R₂+R₄.

R3 ∥ (R2+R4) = 8 ∥ 29 = 6,27 Ω
VA = 12·6,27/(10+6,27) = 4,625 V
VB = VA·R4/(R2+R4) = 4,625·25/29 = 3,987 V
VR2′ = VA − VB = 4,625 − 3,987 = 0,6379 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩقصرR3​8 ΩAIs​1 ABقصر

الحالة 2 · Is يعمل وحده

يصبح مصدرا الجهد كلاهما قصرًا. ينقسم Iₛ عند B بين R₄ (الآن إلى الأرضي) و R₂ على التوالي مع R₁ ∥ R₃.

R1 ∥ R3 = 4,444 Ω، إذن المسار الأيسر هو R2+4,444 = 8,444 Ω
Req = R4 ∥ 8,444 = 6,312 Ω
VB = Is·Req = 1·6,312 = 6,312 V
VA = VB·4,444/8,444 = 3,322 V
VR2″ = VA − VB = 3,322 − 6,312 = −2,99 V
R1​ = 10 ΩR2​ = 4 ΩR4​ = 25 ΩقصرR3​8 ΩAمفتوحB+−V2​15 V

الحالة 3 · V2 يعمل وحده

يصبح V₁ قصرًا و Iₛ دائرة مفتوحة. يتدلّى R₁ ∥ R₃ من A، على التوالي مع R₂ عودةً إلى B.

R1 ∥ R3 = 10·8/(10+8) = 4,444 Ω
VB = V2·(R2+R1∥R3)/(R4+R2+R1∥R3) = 15·8,444/33,44 = 3,787 V
VA = VB·(R1∥R3)/(R2+R1∥R3) = 3,787·4,444/8,444 = 1,993 V
VR2‴ = VA − VB = 1,993 − 3,787 = −1,794 V

اجمع المساهمات

VR2 = VR2′ + VR2″ + VR2‴
VR2 = 0,6379 + (−2,99) + (−1,794) = −4,146 V

النتيجة السالبة تعني أن القطبية معاكسة للمعلَّمة في الواقع.

أسئلة وأجوبة

ما هو التراكب؟

كثير من الدوائر فيها أكثر من مصدر: بطاريتان، أو بطارية ومصدر تيار.

قد يكون حلّها كلها دفعة واحدة صعبًا. يتيح لك التراكب تقسيم المسألة إلى أجزاء أبسط.

كيف تحل مسائل التراكب خطوة بخطوة؟
  1. عُدّ المصادر المستقلة. ستحلّ دائرة أبسط واحدة لكل مصدر.
  2. أبقِ مصدرًا واحدًا وأطفئ الباقي: يصبح مصدر الجهد قصرًا (سلكًا)، ويصبح مصدر التيار دائرة مفتوحة (فجوة).
  3. حلّ الدائرة الأبسط لإيجاد الجهد أو التيار المطلوب، مع متابعة اتجاهه.
  4. كرّر ذلك لكل مصدر، ثم اجمع المساهمات بإشاراتها.
ما الأخطاء الشائعة في التراكب؟
  • إزالة مصدر الجهد بدل استبداله بسلك.
  • جمع المساهمات دون التحقق من اتجاهاتها.
  • استخدام التراكب للقدرة: القدرة ليست خطية، لذا أوجد التيار الكلي أولًا ثم القدرة.
ماذا تغطي تمارين التراكب؟
  • سهلة: مصدرا جهد
  • متوسطة: مصدر جهد + مصدر تيار
  • صعبة: 3 مصادر

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

المقاومات على التوالي والتوازي

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 1التدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل التراكب مع الإجابات
تدرّب على التراكب مجانًاتدرّب على التراكب الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.