رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: التردد الطبيعي وQ والطاقة, RLC على التوالي وعلى التوازي, التصميم والفواقد والتضاؤل.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
C = ?L = 4,7 mH

يجب أن ترنّ دائرة LC فيها L = 4,7 mH عند 50 kHz. أوجد السعة C بوحدة nF.

L = 4,7 mHf0 = 50 kHz
nF
المسألة التالية →
تدرّب على رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق مجانًاتدرّب على رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةالتردد الطبيعي وQ والطاقة
  2. متوسطةRLC على التوالي وعلى التوازي
  3. صعبةالتصميم والفواقد والتضاؤل

كيف تحلّ مسائل رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق

  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.

أخطاء شائعة

  • الخلط بين ω₀ (rad/s) وf₀ (Hz): بينهما العامل 2π.
  • استخدام صيغة Q للتوالي في دائرة توازٍ، حيث تعني R الأكبر Q أعلى.
  • وضع f₀ في منتصف المسافة بين f₁ وf₂: إنه وسطهما الهندسي √(f₁f₂).
  • نسيان تحويل µH وnF وpF إلى H وF.

الصيغ الأساسية

التردد الطبيعي
ω0 = 1/√(LC), f0 = 1/(2π√(LC))
الطاقة
W = ½CV0² = ½Cv² + ½Li²
تيار الذروة
Imax = V0√(C/L)
معامل الجودة
Q = 2π·(energy stored)/(energy lost per cycle)
RLC على التوالي
Q = (1/R)√(L/C), BW = R/(2πL)
RLC على التوازي
Q = R√(C/L), BW = 1/(2πRC)
عرض النطاق
BW = f2 − f1 = f0/Q, f0 = √(f1f2)
ترددات نصف القدرة
f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))
دائرة رنين ذات مقاومة ملف r
RD = L/(C·r) = Q²·r
تضاؤل السعة
e−Rt/(2L)

تعلّم رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق من البداية

قبل هذا: معاوقة التيار المتردد والطوريات

1ماذا يحدث في دائرة LC

اشحن مكثفًا ثم صله بملف حثّي. يدفع المكثف تيارًا عبر الملف. يبني التيار مجالًا مغناطيسيًا، وعندما يفرغ المكثف يواصل المجال دفع التيار، فيُشحن المكثف في الاتجاه المعاكس. ثم يعود كل شيء إلى الوراء.

C+−Li

تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²)، كما يتأرجح البندول بين الارتفاع والسرعة. وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة.

تحقّق ذاتي في اللحظة التي يكون فيها جهد المكثف صفرًا، أين تكون طاقة دائرة LC المثالية؟
  1. ضاعت كلها على شكل حرارة
  2. كلها في المكثف
  3. كلها في الملف، والتيار في ذروته
  4. نصفها في C ونصفها في L

الإجابة: كلها في الملف، والتيار في ذروته. عندما v = 0 يختزن المكثف ½Cv² = 0، فتكون كل الطاقة ½Li² في الملف: التيار في قيمته العظمى. الدائرة المثالية لا مقاومة فيها، فلا يضيع شيء.

2التردد الطبيعي

تتذبذب الدائرة عند التردد الذي تتساوى عنده مفاعلتا L وC، ωL = 1/(ωC):

ω0 = 1/√(LC) f0 = ω0/(2π) = 1/(2π√(LC))

مع L = 10 mH وC = 1 µF: LC = 10⁻⁸ s²، وω0 = 10 000 rad/s وf0 = 1592 Hz. تنتقل الطاقة من C إلى L في ربع الدورة T = 1/f0.

تعطي الطاقة أيضًا التيار الأقصى: ½CV0² = ½LImax²، إذن Imax = V0√(C/L).

تحقّق ذاتي ماذا يحدث لـ f0 عند مضاعفة C؟
  1. تتضاعف
  2. تتنصّف
  3. يزداد بالعامل √2
  4. ينخفض إلى f0/√2، أي نحو 0,71·f0

الإجابة: ينخفض إلى f0/√2، أي نحو 0,71·f0. التردد f0 يتناسب مع 1/√C، فمضاعفة C تقسمه على √2. ولا ينتصف إلا عندما تصبح C أكبر أربع مرات.

3معامل الجودة وعرض النطاق

تفقد الدوائر الحقيقية الطاقة في المقاومة. يقارن معامل الجودة Q الطاقة المختزنة بالمفقودة: Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). يعطي Q المرتفع قمة رنين حادة.

f|I|0,707f0​f1​f2​BW

عرض النطاق هو عرض القمة بين ترددي نصف القدرة f1 وf2، حيث يكون التيار 0,707 من قيمته القصوى:

BW = f2 − f1 = f0/Q f0 = √(f1·f2)
  • RLC على التوالي: Q = (1/R)·√(L/C) وBW = R/(2πL). المقاومة التوالية الصغيرة تعطي Q مرتفعًا.
  • RLC على التوازي: Q = R·√(C/L) وBW = 1/(2πRC). المقاومة التوازية الكبيرة تعطي Q مرتفعًا.

4الطريقة خطوة بخطوة

  1. حوّل L وC إلى H وF، ثم أوجد ω0 = 1/√(LC) وf0 = ω0/(2π).
  2. حدد هل R على التوالي أم على التوازي، واستخدم الصيغة المناسبة لـ Q.
  3. أوجد عرض النطاق BW = f0/Q.
  4. لترددي نصف القدرة استخدم f1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q))؛ وعند Q المرتفع تكون f0 ∓ BW/2 قريبة منهما.

5مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

دائرة RLC على التوالي فيها R = 10 Ω وL = 10 mH وC = 1 µF. أوجد تردد الرنين ومعامل الجودة وعرض النطاق وترددي نصف القدرة.

1

انظر إلى الدائرة

RLC

تحمل الأجزاء الثلاثة التيار نفسه، فهذه دائرة على التوالي.

2

تردد الرنين

f0 = 1/(2π√(0,01·10⁻⁶)) = 1/(2π·10⁻⁴) = 1592 Hz
3

معامل الجودة

Q = (1/10)·√(0,01/10⁻⁶) = (1/10)·100 = 10
4

عرض النطاق

BW = f0/Q = 1592/10 = 159,2 Hz

تحقق: R/(2πL) = 10/(2π·0,01) = 159,2 Hz.

5

ترددات نصف القدرة

f1,2 = 1592·(√(1 + 1/400) ∓ 0,05) = 1514 Hz و1673 Hz

تحقق: 1673 − 1514 = 159 Hz، و√(1514·1673) = 1592 Hz.

الإجابة

f0 = 1,59 kHz وQ = 10 وBW = 159 Hz وf1 = 1,51 kHz وf2 = 1,67 kHz.

6أخطاء شائعة

  • الخلط بين ω0 بـ rad/s وf0 بـ Hz: بينهما العامل 2π.
  • استخدام صيغة Q للتوالي في دائرة توازٍ.
  • وضع f0 في منتصف المسافة بين f1 وf2: إنه وسطهما الهندسي.
  • نسيان تحويل mH وµH وnF وpF إلى H وF.
تحقّق ذاتي دائرة RLC على التوازي فيها R = 10 kΩ وL = 10 mH وC = 1 µF. كم يساوي Q؟
  1. 0,01
  2. 10 000
  3. 100
  4. 1

الإجابة: 100. على التوازي Q = R·√(C/L) = 10 000·√(10⁻⁴) = 100. صيغة التوالي (1/R)·√(L/C) تعطي 0,01، وحذف الجذر التربيعي يعطي 1.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: التردد الطبيعي وQ والطاقة. تجد f0 أو قيمة C لـ f0 معيّن، أو عرض النطاق من Q أو Q من عرض النطاق، أو الطاقة المختزنة أو التيار الأقصى.
  • متوسط: RLC على التوالي وعلى التوازي. تجد Q أو عرض النطاق لدائرة توالٍ أو توازٍ، أو تردد نصف القدرة الدقيق، أو زمن انتقال الطاقة من C إلى L، أو الطاقة في L عند جهد معيّن للمكثف.
  • صعب: التصميم والفواقد والتضاؤل. تحدد R لعرض نطاق معيّن أو C لمرشح، أو تجد الطاقة المفقودة في الدورة، أو المقاومة الديناميكية لدائرة رنين، أو عدد الدورات حتى تنتصف السعة، أو Q من ترددي نصف القدرة.

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
C = ?L = 47 µH

يجب أن ترنّ دائرة LC فيها L = 47 µH عند 500 kHz. أوجد السعة C بوحدة nF.

L = 47 µHf0 = 500 kHz

المطلوب: C (nF)

أظهر التلميحات
  1. f₀ = 1/(2π√(LC)).
  2. C = 1/(ω₀²·L).
  3. ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

رنين LC: المكثف المشحون الموصول بملف حثّي يدفع تيارًا يشحنه في الاتجاه المعاكس: تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²) عند التردد الطبيعي f0 = 1/(2π√(LC)). وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة، فيكون التيار الأقصى Imax = V0√(C/L). الدورة الواحدة T = 1/f0؛ وتنتقل الطاقة من C إلى L في ربعها.

التردد الزاوي

ω₀ = 2π·500000 = 3,142 × 10⁶ rad/s

السعة

C = 1/(ω₀²L) = 1/(9,87 × 10¹²·4,7 × 10⁻⁵) = 2,156 × 10⁻⁹ F = 2,156 nF

الإجابة

C = 2,156 nF
مثال 2متوسطة
V2 Ω2,2 mH220 nF

لدائرة RLC على التوالي R = 2 Ω وL = 2,2 mH وC = 220 nF. أوجد عرض نطاقها BW بوحدة Hz.

R = 2 ΩL = 2,2 mHC = 220 nF

المطلوب: BW (Hz)

أظهر التلميحات
  1. عرض النطاق هو f₀/Q.
  2. في RLC على التوالي تتبسط العلاقة إلى BW = R/(2πL): تُحذف C.
  3. R/L = 909,1 rad/s.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

عرض النطاق بوحدة rad/s

R/L = 2/0,0022 = 909,1 rad/s

عرض النطاق بوحدة Hz

BW = 909,1/(2π) = 144,7 Hz = 144,7 Hz

الإجابة

BW = 144,7 Hz

مع f₀ = 7,234 kHz يعطي ذلك Q = 50.

مثال 3صعبة
C = 10 nFr = 0,5 ΩL = 47 µH

تتكون دائرة رنين متوازية من مكثف 10 nF وملف 47 µH بمقاومة لفّ 0,5 Ω. عند الرنين تتصرف كمقاومة، ومقاومتها الديناميكية RD = L/(C·r). أوجد RD بوحدة kΩ.

L = 47 µHC = 10 nFr = 0,5 Ω

المطلوب: RD (kΩ)

أظهر التلميحات
  1. تسحب الدائرة تيارًا صغيرًا فقط عند الرنين، لذا تكون معاوقتها كبيرة.
  2. RD = L/(C·r) = Q²·r.
  3. L/C = 4700 Ω².
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

معامل الجودة وعرض النطاق: في الدائرة الرنانة Q = 2π·(الطاقة المختزنة)/(الطاقة المفقودة في الدورة). في RLC على التوالي Q = ω0L/R = (1/R)√(L/C)؛ وفي RLC على التوازي Q = R/(ω0L) = R√(C/L). عرض النطاق بين ترددي نصف القدرة f1 وf2 (حيث تكون القدرة النصف والتيار أو الجهد 1/√2 من ذروته) هو BW = f2 − f1 = f0/Q، ويساوي R/(2πL) على التوالي و1/(2πRC) على التوازي. تردد الرنين هو الوسط الهندسي f0 = √(f1f2)، وf1,2 = f0(√(1 + 1/(4Q²)) ∓ 1/(2Q)). تجعل الفواقد التذبذب يتضاءل أيضًا: في RLC على التوالي تتناقص السعة كـ e−Rt/(2L).

المقاومة الديناميكية

RD = 4,7 × 10⁻⁵/(1 × 10⁻⁸·0,5) = 9400 Ω = 9,4 kΩ

تحقق باستخدام Q

Q = (1/r)·√(L/C) = 137,1, Q²·r = 9400 Ω

الإجابة

RD = 9,4 kΩ

أسئلة وأجوبة

ما هو رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق؟

اشحن مكثفًا ثم صله بملف حثّي. يدفع المكثف تيارًا عبر الملف. يبني التيار مجالًا مغناطيسيًا، وعندما يفرغ المكثف يواصل المجال دفع التيار، فيُشحن المكثف في الاتجاه المعاكس. ثم يعود كل شيء إلى الوراء.

تتأرجح الطاقة بين المجال الكهربائي للمكثف C (½Cv²) والمجال المغناطيسي للملف L (½Li²)، كما يتأرجح البندول بين الارتفاع والسرعة. وبدون مقاومة تبقى الطاقة الكلية ½CV0² ثابتة.

كيف تحل مسائل رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق خطوة بخطوة؟
  1. أوجد تردد الرنين أولًا: ω₀ = 1/√(LC) وf₀ = ω₀/(2π).
  2. حدد هل الدائرة على التوالي أم على التوازي: على التوالي Q = (1/R)√(L/C)، وعلى التوازي Q = R√(C/L).
  3. استخدم BW = f₀/Q لعرض النطاق، أو الصيغتين المختصرتين R/(2πL) (توالٍ) و1/(2πRC) (توازٍ).
  4. في أسئلة الطاقة، استخدم أن الطاقة الكلية ½CV₀² تبقى ثابتة في دائرة LC المثالية وتتنقل بين C وL كل ربع دورة.
ما الأخطاء الشائعة في رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق؟
  • الخلط بين ω₀ (rad/s) وf₀ (Hz): بينهما العامل 2π.
  • استخدام صيغة Q للتوالي في دائرة توازٍ، حيث تعني R الأكبر Q أعلى.
  • وضع f₀ في منتصف المسافة بين f₁ وf₂: إنه وسطهما الهندسي √(f₁f₂).
  • نسيان تحويل µH وnF وpF إلى H وF.
ماذا تغطي تمارين رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق؟
  • سهلة: التردد الطبيعي وQ والطاقة
  • متوسطة: RLC على التوالي وعلى التوازي
  • صعبة: التصميم والفواقد والتضاؤل

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

معاوقة التيار المتردد والطوريات

الآلات الحاسبة

حاسبة تردد الرنين (LC وRLC)

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

تحليل الدوائر الكهربائية 2: دوائر التيار المتردد

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشالاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذورخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق مع الإجابات
تدرّب على رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق مجانًاتدرّب على رنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاق الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.