الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور: مسائل تدريبية مع حلول خطوة بخطوة

مسائل تدريبية مجانية في الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مع رسوم توضيحية وتلميحات وحلول مفصّلة كاملة. قيم جديدة في كل مرة، بثلاثة مستويات: جدول راوث وعدّ الأقطاب, مدى K للاستقرار, المحل الهندسي للجذور.

مسألة تدريبية مجانيةسهلة
s⁴16−2s³416s²??s¹?s⁰?

كثير الحدود المميِّز لنظام تغذية عكسية هو Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2. ابنِ جدول راوث وأوجد عدد الجذور N لـ Q(s) الواقعة في النصف الأيمن من المستوى.

Q(s) = s⁴ + 4s³ + 6s² + 16s − 2

إجابة دقيقة: عدد صحيح، دون تقريب.

المسألة التالية →
تدرّب على الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مجانًاتدرّب على الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.

ما الذي تتدرّب عليه

  1. سهلةجدول راوث وعدّ الأقطاب
  2. متوسطةمدى K للاستقرار
  3. صعبةالمحل الهندسي للجذور

كيف تحلّ مسائل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور

  1. اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة: مقام 1 + K·G(s) = 0، بعد فكّه.
  2. ضع المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث وابنِ بقية الصفوف.
  3. عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول: كل تغيّر قطب في النصف الأيمن من المستوى. ومع وجود K في الجدول اشترط أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا.
  4. للمحل الهندسي للجذور عيّن الأقطاب والأصفار وقطع المحور الحقيقي والخطوط المقاربة من المركز ونقاط الانفصال حيث dK/ds = 0. واستخدم K = 1/|G(s)| لإيجاد الكسب عند نقطة.

أخطاء شائعة

  • الاستنتاج أن النظام مستقر لأن كل المعاملات موجبة؛ فهذا لا يكفي في الرتبة الثالثة فما فوق.
  • نسيان الحد الثابت للمحطة عند إضافة K: ففي حالة ثلاثة أقطاب بعيدة عن نقطة الأصل يكون عنصر s⁰ هو abc + K.
  • أخذ منتصف قطبين على أنه نقطة الانفصال، مع وجود قطب ثالث أو صفر قريب.
  • استخدام مواضع الأقطاب دون إشاراتها في صيغة المركز.

الصيغ الأساسية

الاستقرار
جميع جذور كثير الحدود المميِّز في النصف الأيسر من المستوى
جدول راوث، عنصر الصف s¹ في كثير حدود تكعيبي
b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
جذور النصف الأيمن من المستوى
عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول
كثير الحدود التكعيبي s³ + a₂s² + a₁s + a₀
مستقر حين a > 0 لجميع المعاملات وa₂·a₁ > a₀
K/(s(s + a)(s + b))
Kmax = ab(a + b), ω = √(ab)
المعادلة المميزة
1 + K·G(s) = 0
الخطوط المقاربة
σa = (Σp − Σz)/(n − m), θ = (2q + 1)·180°/(n − m)
نقطتا الانفصال والالتقاء
dK/ds = 0
شرط المقدار
K = 1/|G(s)|
زاوية المغادرة
θd = 180° − Σ∠(from other poles) + Σ∠(from zeros)

تعلّم الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور من البداية

قبل هذا: تحويلات لابلاس, المخططات الصندوقية

1ماذا يعني الاستقرار

يكون النظام مستقرًا حين يعطي كل دخل محدود خرجًا محدودًا. وبعد اضطراب يستقر النظام المستقر؛ أما غير المستقر فينفلت أو يتذبذب بسعة متزايدة.

يتحدد السلوك بـأقطاب الحلقة المغلقة: وهي جذور كثير حدودها المميِّز. والقطب عند s = p يضيف حدًا ept إلى الاستجابة.

ReIm−2−1 + j2−1 − j2+1Re < 0Re > 0
  • القطب ذو الجزء الحقيقي السالب (في النصف الأيسر من المستوى) يعطي حدًا يتلاشى.
  • القطب ذو الجزء الحقيقي الموجب (في النصف الأيمن من المستوى) يعطي حدًا ينمو بلا حدود.
  • فالنظام مستقر فقط حين تقع جميع الأقطاب في النصف الأيسر من المستوى.
تحقّق ذاتي لحلقة مغلقة أقطاب عند −3 و−1 + j2 و−1 − j2 و+0,5. هل هي مستقرة؟
  1. لا، فالقطب عند +0,5 يجعلها غير مستقرة
  2. لا، لأن الأقطاب المركّبة تجعل النظام غير مستقر دائمًا
  3. نعم، لأن ثلاثة من الأقطاب الأربعة في النصف الأيسر من المستوى
  4. نعم، لأن للأقطاب المركّبة أجزاء حقيقية سالبة

الإجابة: لا، فالقطب عند +0,5 يجعلها غير مستقرة. قطب واحد في النصف الأيمن من المستوى يكفي: فحدّه e0,5t ينمو. أما الأقطاب المركّبة في النصف الأيسر فلا بأس بها؛ فهي تعطي تذبذبًا متضائلًا.

2جدول راوث

في الرتبة الثالثة فما فوق يصعب إيجاد الجذور يدويًا. ويخبرك معيار راوث–هرفيتز بعدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى دون حلها.

اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين. للدالة s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

s³: 1, a1 s²: a2, a0

يُبنى كل صف جديد من الصفين اللذين فوقه. وفي الرتبة الثالثة يكون عنصر الصف s¹:

b1 = (a2·a1 − 1·a0)/a2, s⁰: a0

عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى.

مثال: s³ + 2s² + 3s + 10. العمود الأول هو 1 و2 و(2·3 − 10)/2 = −2 و10. تكون الإشارات +، +، −، +: تغيّران، فيقع قطبان في النصف الأيمن من المستوى.

تحقّق ذاتي لـ s³ + 4s² + 5s + 2، ما أول عنصر في الصف s¹؟
  1. 18
  2. 4,5
  3. 5
  4. −4,5

الإجابة: 4,5. b₁ = (4·5 − 1·2)/4 = 18/4 = 4,5. نسيان القسمة على 4 يعطي 18؛ وتبديل الجداءين يعطي −4,5.

3الطريقة خطوة بخطوة

  1. اكتب المعادلة المميِّزة للحلقة المغلقة 1 + K·G(s) = 0 وفكّها إلى كثير حدود.
  2. املأ الصفين الأولين من جدول راوث بالمعاملات.
  3. ابنِ بقية الصفوف؛ وأبقِ K رمزًا إن ظهر.
  4. عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول، أو اشترط أن يكون كل عنصر في العمود الأول موجبًا لإيجاد المدى المسموح لـ K.
  5. عند الكسب الحدّي يكون الصف s¹ صفرًا. ويعطي الصف s² حينئذٍ المعادلة المساعدة a·s² + b = 0، وتبيّن جذورها ±jω تردد التذبذب.

اختبار سريع لكثير حدود تكعيبي s³ + a₂s² + a₁s + a₀: يكون مستقرًا إذا وفقط إذا كانت كل المعاملات موجبة وa₂·a₁ > a₀.

4مثال محلول

تابع كل خطوة. حاول أن تتوقّع الخطوة التالية قبل أن تفتحها.

مثال محلول

للحلقة أدناه L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)). لأي كسوب K تكون الحلقة المغلقة مستقرة، وبأي تردد تتذبذب عند الحد؟

1

انظر إلى الحلقة

R+K1/(s(s + 2)(s + 4))C−

المعادلة المميِّزة هي 1 + L(s) = 0، إذن s(s + 2)(s + 4) + K = 0.

2

فُكّ الأقواس

s³ + 6s² + 8s + K = 0
3

ابنِ جدول راوث

s³: 1, 8 s²: 6, K s¹: (48 − K)/6 s⁰: K

عنصر الصف s¹ هو (6·8 − 1·K)/6.

4

أبقِ العمود الأول موجبًا

من الصف s⁰: K > 0. ومن الصف s¹: 48 − K > 0، إذن K < 48.

5

التردد عند الحد

عند K = 48 يكون الصف s¹ صفرًا. ويعطي الصف s² المعادلة 6s² + 48 = 0، إذن s² = −8.

ω = √8 = 2,83 rad/s
6

تحقّق من الإجابة

عند K = 48 يكون كثير الحدود s³ + 6s² + 8s + 48 = (s + 6)(s² + 8). وجذوره −6 و±j2,83، كما هو متوقع.

الإجابة

الحلقة مستقرة لـ 0 < K < 48؛ وعند K = 48 تتذبذب بالتردد ω = 2,83 rad/s.

5المحل الهندسي للجذور

يبيّن المحل الهندسي للجذور كيف تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة حين يتغير K من 0 إلى ∞. يبدأ من أقطاب الحلقة المفتوحة (×) وينتهي عند أصفار الحلقة المفتوحة (○) أو عند ما لا نهاية.

  • تقع نقطة على المحور الحقيقي على المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا.
  • تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m).
  • تنطلق الخطوط المقاربة من المركز σa = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m).
  • تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0، مع K = −1/G(s) على المحور.
  • الكسب عند أي نقطة s على المحل الهندسي هو K = 1/|G(s)|، أي حاصل ضرب المسافات إلى الأقطاب مقسومًا على حاصل ضرب المسافات إلى الأصفار.

لـ L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)) يكون المركز (0 − 2 − 4)/3 = −2، وتنطلق الخطوط المقاربة بزوايا 60° و180° و300°.

ReIm0−2−460°

تأتي نقطة الانفصال بين 0 و−2 من dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0، إذن s = −0,845.

تحقّق ذاتي لـ L(s) = K/((s + 1)(s + 5))، أين يغادر الفرعان المحور الحقيقي؟
  1. s = −1
  2. s = −2,5
  3. s = −3
  4. s = −6

الإجابة: s = −3. مع قطبين حقيقيين ولا أصفار تكون K = −(s + 1)(s + 5) أكبر ما يمكن في منتصف المسافة بينهما: dK/ds = −(2s + 6) = 0 تعطي s = −3.

6أخطاء شائعة

  • اعتبار نظام ما مستقرًا لأن كل معاملاته موجبة. ففي الرتبة الثالثة فما فوق تحتاج أيضًا إلى اختبار راوث.
  • نسيان الحد الثابت للمحطة: ففي K/((s + a)(s + b)(s + c)) يكون معامل s⁰ هو abc + K لا K.
  • أخذ منتصف قطبين على أنه نقطة الانفصال، مع أن قطبًا ثالثًا أو صفرًا يسحب المحل الهندسي.
  • إسقاط الإشارات في المركز: فالعامل (s + 4) قطب عند s = −4.
تحقّق ذاتي هل المعادلة s³ + s² + 2s + 8 = 0 معادلة مميِّزة مستقرة؟
  1. لا: فـ a₂·a₁ = 2 أقل من a₀ = 8
  2. لا: فكثير الحدود التكعيبي لا يكون مستقرًا أبدًا
  3. نعم: فالمعاملات لا تغيّر إشارتها
  4. نعم: فكل المعاملات موجبة

الإجابة: لا: فـ a₂·a₁ = 2 أقل من a₀ = 8. عنصر الصف s¹ هو (1·2 − 8)/1 = −6، فيغيّر العمود الأول 1 و1 و−6 و8 إشارته مرتين: فيقع قطبان في النصف الأيمن من المستوى. المعاملات الموجبة لا تكفي.

7كيف تبدو أسئلة الامتحان

  • سهل: جدول راوث وعدّ الأقطاب. تعدّ أقطاب النصف الأيمن من المستوى لكثير حدود تكعيبي أو رباعي، أو تجد عنصرًا واحدًا من الجدول، أو تجد قطب حلقة مغلقة لمحطة من الرتبة الأولى، أو الكسب الذي يضعه عند نقطة معطاة.
  • متوسط: مدى K. تجد أكبر كسب مستقر، أو تردد التذبذب عند ذلك الكسب، أو أصغر كسب يثبّت محطة غير مستقرة، أو إلى أي مدى يمكن رفع الكسب.
  • صعب: المحل الهندسي للجذور. تجد مركز الخطوط المقاربة، أو نقطة التقاطع مع المحور التخيلي، أو نقطتي الانفصال والالتقاء، أو زاوية المغادرة من قطب مركّب، أو الكسب عند نقطة أو نسبة تخميد معطاة.

لكسب عند نسبة تخميد اكتب كثير الحدود المميِّز وقارنه مع s² + 2ζωns + ωn².

تعلّمه خطوة بخطوة في التطبيقتعلّمه خطوة بخطوة في التطبيق

أمثلة محلولة

مثال 1سهلة
R(s)+K1s + 10C(s)−

يتحكم كسب تناسبي K في المحطة G(s) = 1/(s + 10) ضمن حلقة تغذية عكسية وحدوية. أوجد الكسب K الذي يضع قطب الحلقة المغلقة عند s = −10,5.

G(s) = 1/(s + 10)p = −10,5

المطلوب: K

أظهر التلميحات
  1. قطب الحلقة المغلقة هو جذر s + 10 + 1K = 0.
  2. عوّض s = −10,5 في هذه المعادلة.
  3. 1K = 10,5 − 10.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.

المعادلة المميزة

s + 10 + 1K = 0

الكسب المطلوب

−10,5 + 10 + 1K = 0 → K = (10,5 − 10)/1 = 0,5

الإجابة

K = 0,5
مثال 2متوسطة
R(s)+Ks + 2(s − 4)(s + 1)C(s)−

للمحطة G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1)) قطب غير مستقر عند s = 4. يغلق كسب تناسبي K حلقة تغذية عكسية وحدوية حولها. أوجد أصغر كسب Kmin يجعل الحلقة المغلقة مستقرة.

G(s) = (s + 2)/((s − 4)(s + 1))

المطلوب: Kmin

أظهر التلميحات
  1. كثير الحدود المميِّز هو (s − 4)(s + 1) + K(s + 2).
  2. s² + (-3 + K)s + (2K − 4).
  3. كثير حدود من الرتبة الثانية يكون مستقرًا حين يكون معاملاه موجبين.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

معيار راوث–هرفيتز: يكون النظام الخطي مستقرًا حين يقع كل جذر من جذور كثير حدوده المميِّز في النصف الأيسر من المستوى s. اكتب المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث. يأتي كل عنصر في صف جديد من الصفين اللذين فوقه؛ وبالنسبة إلى كثير حدود تكعيبي a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀ يكون عنصر الصف s¹ هو b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂. عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في النصف الأيمن من المستوى. وحين يدخل الكسب K في المعاملات يجب أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا: الكسب الذي يجعل عنصر الصف s¹ صفرًا هو حدّ الاستقرار، ثم يعطي الصف s² تردد التذبذب المستمر.

كثير الحدود المميِّز

(s − 4)(s + 1) + K(s + 2) = s² + (-3 + K)s + (2K − 4)

الشروط

بالنسبة إلى s² + c₁s + c₀ تقع كل الجذور في النصف الأيسر من المستوى إذا وفقط إذا كان c₁ > 0 وc₀ > 0.

-3 + K > 0 → K > 3
2K − 4 > 0 → K > 2
Kmin = 3

الإجابة

Kmin = 3
مثال 3صعبة
ReIm−2−4−6−8−10−12j2

يغادر المحل الهندسي للجذور لـ L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10)) المحور الحقيقي بين s = 0 وs = −4. أوجد نقطة الانفصال sb.

L(s) = K/(s(s + 4)(s + 10))

المطلوب: sb

أظهر التلميحات
  1. على المحور الحقيقي K = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s).
  2. ضع dK/ds = 0: 3s² + 28s + 40 = 0.
  3. خذ الجذر الواقع بين 0 و−4.
أظهر الإجابة والحل خطوة بخطوة

المحل الهندسي للجذور: حين يتغير الكسب K من 0 إلى ∞ تتحرك أقطاب الحلقة المغلقة، وهي جذور 1 + K·G(s) = 0، من أقطاب الحلقة المفتوحة إلى أصفار الحلقة المفتوحة أو إلى ما لا نهاية. تنتمي نقطة على المحور الحقيقي إلى المحل الهندسي حين يكون عدد الأقطاب والأصفار الحقيقية على يمينها فرديًا. تتبع الفروع n − m المتجهة إلى ما لا نهاية خطوطًا مقاربة بالزوايا (2q + 1)·180°/(n − m)، وتنطلق من المركز σₐ = (Σ الأقطاب − Σ الأصفار)/(n − m). تغادر الفروع المحور الحقيقي أو تنضم إليه حيث dK/ds = 0. يحدد شرط الزاوية ∠G(s) = 180° الشكل، ويعطي شرط المقدار K = 1/|G(s)| الكسب عند أي نقطة من المحل الهندسي.

الكسب على طول المحور الحقيقي

K(s) = −s(s + 4)(s + 10) = −(s³ + 14s² + 40s)

النقاط الحرجة

dK/ds = −(3s² + 28s + 40) = 0
s = (−28 ± √(784 − 480))/6 = −1,761, −7,573

اختر النقطة الواقعة على المحل الهندسي

يقع المحل الهندسي على المحور الحقيقي بين 0 و−4؛ أما الجذر الآخر فليس على المحل الهندسي.

sb = −1,761

الإجابة

sb = −1,761

أسئلة وأجوبة

ما هو الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور؟

يكون النظام مستقرًا حين يعطي كل دخل محدود خرجًا محدودًا. وبعد اضطراب يستقر النظام المستقر؛ أما غير المستقر فينفلت أو يتذبذب بسعة متزايدة.

يتحدد السلوك بـأقطاب الحلقة المغلقة: وهي جذور كثير حدودها المميِّز. والقطب عند s = p يضيف حدًا ept إلى الاستجابة.

كيف تحل مسائل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور خطوة بخطوة؟
  1. اكتب كثير الحدود المميِّز للحلقة المغلقة: مقام 1 + K·G(s) = 0، بعد فكّه.
  2. ضع المعاملات بالتناوب في الصفين الأولين من جدول راوث وابنِ بقية الصفوف.
  3. عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول: كل تغيّر قطب في النصف الأيمن من المستوى. ومع وجود K في الجدول اشترط أن يبقى كل عنصر في العمود الأول موجبًا.
  4. للمحل الهندسي للجذور عيّن الأقطاب والأصفار وقطع المحور الحقيقي والخطوط المقاربة من المركز ونقاط الانفصال حيث dK/ds = 0. واستخدم K = 1/|G(s)| لإيجاد الكسب عند نقطة.
ما الأخطاء الشائعة في الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور؟
  • الاستنتاج أن النظام مستقر لأن كل المعاملات موجبة؛ فهذا لا يكفي في الرتبة الثالثة فما فوق.
  • نسيان الحد الثابت للمحطة عند إضافة K: ففي حالة ثلاثة أقطاب بعيدة عن نقطة الأصل يكون عنصر s⁰ هو abc + K.
  • أخذ منتصف قطبين على أنه نقطة الانفصال، مع وجود قطب ثالث أو صفر قريب.
  • استخدام مواضع الأقطاب دون إشاراتها في صيغة المركز.
ماذا تغطي تمارين الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور؟
  • سهلة: جدول راوث وعدّ الأقطاب
  • متوسطة: مدى K للاستقرار
  • صعبة: المحل الهندسي للجذور

لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة. هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.

كيف يعمل التدريب

  • لكل مسألة قيم جديدة، فتتعلّم الطريقة بدلًا من حفظ إجابة.
  • هل علِقت؟ افتح تلميحًا صغيرًا أولًا، والشرح الكامل فقط عندما تحتاج إليه.
  • يُحفظ تقدّمك وأخطاؤك ومسائلك المحفوظة، لتتمكّن من مراجعتها قبل الامتحان.

مواضيع قبل هذا الموضوع وبعده

تعلّم أولاً

تحويلات لابلاسالمخططات الصندوقية

الآلات الحاسبة

حاسبة معيار روث–هورفيتز للاستقرار

مقرّرات تتضمّن هذا الموضوع

هندسة التحكم 1هندسة التحكم 2: تصميم التحكم بالتغذية الراجعةالتدريب لاختبار FE للهندسة الكهربائية والحاسوب

مواضيع أخرى في الكهربائية

المقاومات على التوالي والتوازيالتراكبثيفنن ونورتنتحليل العقدتحليل الحلقاتالحالات العابرة RC و RLمعاوقة التيار المتردد والطورياتقدرة التيار المتردد ومعامل القدرةرنين LC ومعامل الجودة وعرض النطاقالقدرة ثلاثية الطورالمحوّلاتمحركات التيار المستمردوائر مكبّرات العملياتالثنائيات والترانزستوراتمحولات التيار المستمر إلى التيار المستمرالمنطق الرقمي: البوابات وخرائط كارنو والقلّاباتقنطرة ويتستون ومقاييس الانفعالاكتساب البيانات وأخذ العيناتتحويلات لابلاسالمخططات الصندوقيةالاستجابة الخطويةمخططات بودي والهوامشخطأ الحالة المستقرة والتحكم PIDالالتفاف والأنظمة الخطية اللامتغيرة زمنيًا

ورقة عمل قابلة للطباعة

ورقة عمل الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مع الإجابات
تدرّب على الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور مجانًاتدرّب على الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور الآن5 مسائل مجانية كل يوم. لا حاجة إلى بطاقة.