حاسبة معيار روث–هورفيتز للاستقرار
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
| العمود 1 | العمود 2 | العمود 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
تحقّق من استقرار نظام خطي من كثيرة حدوده المميِّزة. تبني الحاسبة جدول روث بكسور دقيقة، وتعالج الصفر في العمود الأول (طريقة ε) والصف الذي كله أصفار (كثير الحدود المساعد)، وتعدّ تغيّرات الإشارة، وتعطي عدد الجذور في نصف المستوى الأيمن وعلى المحور التخيلي وفي نصف المستوى الأيسر.
الحل خطوة بخطوة
كثير الحدود المميِّز
الصفان الأولان
الصفوف التالية
عُدّ تغيّرات الإشارة في العمود الأول
الصيغ الأساسية
- الاستقرار
- جميع جذور كثير الحدود المميِّز في النصف الأيسر من المستوى
- جدول راوث، عنصر الصف s¹ في كثير حدود تكعيبي
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- جذور النصف الأيمن من المستوى
- عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول
- كثير الحدود التكعيبي s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- مستقر حين a > 0 لجميع المعاملات وa₂·a₁ > a₀
- المعادلة المميزة
- 1 + K·G(s) = 0
كيف تستخدم معيار روث–هورفيتز
- اكتب كثيرة الحدود المميِّزة بكل قوى s من الأعلى نزولًا. إذا فُقد معامل أو اختلفت الإشارات فلا يمكن أن يكون النظام مستقرًا.
- املأ الصف الأول بالمعاملات الأول والثالث والخامس…، والصف الثاني بالمعاملات الثاني والرابع والسادس….
- كل عنصر تالٍ هو (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁، باستخدام الصفين اللذين فوقه.
- إذا كان عنصر أول صفرًا ولم يكن الصف كله كذلك فاستبدله بـ ε > 0 صغير. وإذا كان صف كامل أصفارًا فاستبدله بمشتقة كثير الحدود المساعد المكوَّن من الصف الذي فوقه.
- عدد تغيّرات الإشارة في العمود الأول يساوي عدد الجذور في نصف المستوى الأيمن.
أسئلة وأجوبة
ماذا يعني الصف الذي كله أصفار؟
لكثيرة الحدود جذور متناظرة حول نقطة الأصل: أزواج ±a أو ±jω أو رباعيات. ويحتوي كثير الحدود المساعد من الصف الذي فوقه هذه الجذور بالضبط، وجذوره الواقعة على المحور التخيلي تجعل النظام في أفضل الأحوال حدّيَّ الاستقرار.
هل طريقة ε موثوقة دائمًا؟
لا، عندما تقع جذور على المحور التخيلي. لذلك تفصل الحاسبة أيضًا العامل المشترك بين P(s) وP(−s)، وهو يضم كل الجذور المتناظرة، وتعدّ جذوره التخيلية بدقة. وإذا غيّر ذلك العدّ فإن الخطوات تذكره.
كيف أجد مدى K للاستقرار؟
ضع الكسب K في المعاملات، وابنِ الجدول رمزيًا، واشترط أن يكون كل عنصر في العمود الأول موجبًا. تعمل هذه الحاسبة بالأعداد، فيمكنك استخدامها للتحقق من قيمة K على جانبي الحد الذي وجدته.
هل يعني جدول روث المستقر أن التصميم جيد؟
يعني فقط أن كل الأقطاب في نصف المستوى الأيسر. أما سرعة الاستجابة وجودة التخميد فتعتمدان على مواضع الأقطاب؛ فاستخدم المحل الجذري أو مخطط بود لذلك.
تدرّب بنفسك
تدرّب على الاستقرار: راوث–هرفيتز والمحل الهندسي للجذور
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.