حاسبة تحويل لابلاس العكسي (الكسور الجزئية)
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
أوجد تحويل لابلاس العكسي للدالة النسبية F(s) = N(s)/D(s). أدخل معاملات البسط والمقام، بدءًا بأعلى قوة لـ s. تختزل الحاسبة العوامل المشتركة، وتقسم الكسر غير الفعلي، وتجد الأقطاب، وتحسب كل معامل من معاملات الكسور الجزئية (للأقطاب المتمايزة والمتكررة والمركّبة)، وتكتب f(t) على شكل مجموع دوال أسية وقوى لـ t وجيوب وجيوب تمام.
الحل خطوة بخطوة
اكتب F(s) على شكل نسبة بين كثيرتي حدود
الأقطاب: جذور المقام
الكسور الجزئية
أزواج التحويل المستخدمة
تحويل لابلاس العكسي
كيف تجد تحويل لابلاس العكسي بالكسور الجزئية
- تأكد أن F(s) فعلية: إذا لم تكن درجة البسط أقل من درجة المقام فاقسم أولًا. ويعطي الجزء كثير الحدود نبضات δ(t) وδ′(t) وهكذا.
- حلّل المقام إلى عوامل لإيجاد الأقطاب: القطب الحقيقي a يعطي العامل (s − a)، والزوج المركّب a ± bj يعطي (s − a)² + b².
- اكتب F(s) على شكل مجموع كسور جزئية وأوجد المعاملات. وللقطب البسيط A = [(s − a)·F(s)] عند s = a (قاعدة التغطية)؛ أما الأقطاب المتكررة فتحتاج إلى مشتقات.
- حوّل كل حدّ بالجدول: 1/(s − a) ↔ e^(at)، و1/(s − a)ⁿ ↔ tⁿ⁻¹·e^(at)/(n − 1)!، و(s − a)/((s − a)² + b²) ↔ e^(at)·cos bt.
- اجمع الحدود لتحصل على f(t) عندما t ≥ 0.
أسئلة وأجوبة
كيف أدخل F(s)؟
اكتب معاملات كل كثير حدود بدءًا بأعلى قوة لـ s نزولًا، تفصل بينها مسافات، مع أصفار للقوى الناقصة. (s + 3)/(s² + 3s + 2) بسطها 1 3 ومقامها 1 3 2؛ و1/(s³ + 4s) بسطها 1 ومقامها 1 0 4 0. يُسمح بالكسور مثل 1/2 والأعداد العشرية.
ما طريقة التغطية؟
للقطب البسيط عند s = a اضرب F(s) في (s − a) واختزل ثم عوّض s = a. وفي F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) يعطي ذلك 2/1 = 2 عند s = −1 و1/(−1) = −1 عند s = −2، إذن f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).
كيف تُعالَج الأقطاب المركّبة؟
يعطي زوج الأقطاب a ± bj الحدّ (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²)، وتحويله العكسي e^(at)·(B cos bt + C sin bt). تجد الحاسبة B وC من المعامل المركّب A عند a + bj: B = 2·Re A وC = −2·Im A.
ماذا لو كانت درجة البسط أعلى مما ينبغي؟
عندئذ تكون F(s) غير فعلية. تعطي القسمة المطوّلة F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). ويتحول كثير الحدود Q(s) إلى نبضات: الثابت c يعطي c·δ(t)، وc·s يعطي c·δ′(t)، وهكذا. ويُفكّ الجزء الفعلي R(s)/D(s) إلى كسور جزئية كالمعتاد.
ما مدى دقة النتائج؟
تُوجَد العوامل المشتركة والمتكررة بدقة تامة، بالكسور. ثم تُحسب الجذور والمعاملات عدديًا بنحو 14 رقمًا وتُعرض بأربعة أرقام معنوية، لذلك تظهر الأقطاب غير النسبية، مثل أقطاب s² + s + 1، على شكل أعداد عشرية.
لماذا f(t) صالحة فقط عندما t ≥ 0؟
لا يستخدم تحويل لابلاس أحادي الجانب إلا قيم f عندما t ≥ 0. وبدقة، النتيجة هي f(t)·u(t)، حيث u دالة الوحدة (الدرجة)، لذلك f(t) = 0 عندما t < 0.
تدرّب بنفسك
تدرّب على تحويلات لابلاس
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.