حاسبة مخطط بود (هامش الكسب وهامش الطور)
أدخل قيمك. تتحدّث الإجابة والحل المفصّل الكامل أثناء الكتابة.
النتيجة
| ω (rad/s) | |G(jω)| | |G| (dB) | الطور (°) |
|---|---|---|---|
| 0,01 | 99,99 | 40 | −90,86 |
| 0,02154 | 46,4 | 33,33 | −91,85 |
| 0,04642 | 21,52 | 26,65 | −93,99 |
| 0,1 | 9,938 | 19,95 | −98,57 |
| 0,2154 | 4,511 | 13,09 | −108,3 |
| 0,4642 | 1,904 | 5,591 | −128 |
| 1 | 0,6325 | −3,979 | −161,6 |
| 2,154 | 0,133 | −17,53 | −202,2 |
| 4,642 | 0,01796 | −34,92 | −234,5 |
| 10 | 0,001951 | −54,19 | −253 |
| 21,54 | 0,0001989 | −74,03 | −262 |
| 46,42 | 1,998 × 10⁻⁵ | −93,99 | −266,3 |
| 100 | 2 × 10⁻⁶ | −114 | −268,3 |
ارسم مخطط بود لدالة تحويل G(s) تُدخل على شكل معاملات البسط والمقام. ترسم الحاسبة المقدار بوحدة dB والطور مقابل التردد، وتسردهما في جدول، وتجد تردد تقاطع الكسب (|G| = 0 dB) وتردد تقاطع الطور (الطور = −180°) وهامش الكسب وهامش الطور.
مخطط بود
الحل خطوة بخطوة
الاستجابة الترددية
تقاطع الكسب: |G(jω)| = 1 (0 dB)
تقاطع الطور: الطور = −180°
الاستقرار
كيف تجد هامشي الكسب والطور من مخطط بود
- عوّض s = jω وقيّم |G(jω)| بوحدة dB (أي 20·log₁₀|G|) والطور arg G(jω) على مدى من الترددات.
- تقاطع الكسب ω_gc: حيث |G(jω)| = 1، أي 0 dB. هامش الطور PM = 180° + الطور عند ω_gc.
- تقاطع الطور ω_pc: حيث يكون الطور −180°. هامش الكسب GM = −|G(jω_pc)| بوحدة dB.
- في حلقة مفتوحة بلا أقطاب في نصف المستوى الأيمن تكون الحلقة المغلقة مستقرة عندما يكون الهامشان موجبين.
- الأهداف التصميمية النموذجية هي هامش طور من 45° إلى 60° وهامش كسب لا يقل عن 6 dB.
أسئلة وأجوبة
كيف أدخل G(s)؟
اكتب معاملات البسط والمقام بدءًا بأعلى قوة لـ s نزولًا، مع أصفار للقوى الناقصة. 2/(s(s + 1)(s + 2)) = 2/(s³ + 3s² + 2s) بسطها 2 ومقامها 1 3 2 0.
لماذا لا يقتصر الطور على المدى من −180° إلى 180°؟
الطور مفتوح (غير ملفوف): فهو يتغير باستمرار مع التردد، لذلك ينخفض نظام ذو ثلاثة أقطاب إلى −270°. ويُوجَد التقاطع مع −180° على هذا المنحنى المتصل.
ماذا لو لم يوجد تقاطع؟
إذا لم يقطع |G| المستوى 0 dB أبدًا فهامش الطور لا نهائي؛ وإذا لم يبلغ الطور −180° أبدًا فهامش الكسب لا نهائي. مثلًا النظام من الرتبة الأولى أو الثانية بلا تأخير زمني له هامش كسب لا نهائي.
متى قد يضلّل الهامشان؟
في الأنظمة ذات الحلقة المفتوحة التي لها أقطاب أو أصفار في نصف المستوى الأيمن، أو التي لها عدة تقاطعات، لا يحسم الهامشان وحدهما الاستقرار؛ فاستخدم معيار نايكويست. وتعرض الحاسبة أصغر الهوامش عند وجود عدة تقاطعات.
ما مدى دقة النتائج؟
تُقيَّم الاستجابة مباشرة من دالة التحويل المركّبة على شبكة لوغاريتمية دقيقة، وتُحسَّن التقاطعات بالتنصيف، لذلك تكون الترددات والهوامش دقيقة إلى أرقام كثيرة.
تدرّب بنفسك
تدرّب على مخططات بودي والهوامش
الآلة الحاسبة تعطي الإجابة. أما في الامتحان فتحتاج إلى الطريقة: تدرّب عليها بمسائل جديدة وتلميحات وحلول مفصّلة.