التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^3x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 2/x)^3xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^x − 1 − x)/x².

f(x) = (e^x − 1 − x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(3x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(1,5).

f(x) = x·sin(3x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = −x² + 5x + 3 عند x = −2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = −x² + 5x + 3x = −2

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 355 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 355 cm³

r = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة صغيرة تبيع منتجها بسعر سوق ثابت قدره €25 للوحدة. إنتاج q وحدة يكلّف C(q) = 2700 + 6q + 0,01q² يورو. أوجد الإنتاج q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = €25C = 2700 + 6q + 0,01q²

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁴ x·ln x dx.

∫₁⁴ x ln x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 1 − x² والمحور x.

y = 1 − x²

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 403,4

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 2/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·2 = 6

أزل اللوغاريتم

L = e⁶ = 403,4

الإجابة

L = 403,4

2.النهايات

الإجابة: L = 0,5

التطبيق الأول

(1·e^x − 1)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

1·e^x/2

عوّض x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

الإجابة

L = 0,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(1.5) = −1,926

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

عوّض

f′(1,5) = −0,9775 + 4,5·(−0,2108) = −1,926

الإجابة

f′(1,5) = −1,926

4.المشتقات

الإجابة: b = 7

النقطة والميل

f(−2) = −11

f′(x) = −2x + 5 → f′(−2) = 9

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = −11 − 9·(−2) = 7

الإجابة

b = 7

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 3,837 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

الارتفاع والمساحة

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

الإجابة

r = 3,837 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 950 وحدة

دالة الربح

P(q) = 25q − (2700 + 6q + 0,01q²) = −0,01q² + 19q − 2700

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,02 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

19 − 0,02q = 0 → q = 950

أقصى ربح

P = 19·950 − 0,01·950² − 2700 = €6325

الإجابة

q = 950

7.التكاملات

الإجابة: I = 7,34

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(8·ln 4 − 4) − (0 − 0,25) = 7,34

الإجابة

I = 7,34

8.التكاملات

الإجابة: A = 1,333

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

1 − x² = 0 → x = ±1

كامل

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

الإجابة

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1