التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (√(x² − 4x) − x).

f(x) = √(x² − 4x) − xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^−2x − 1 + 2x)/x².

f(x) = (e^−2x − 1 + 2x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(3x² + 4). أوجد f′(1).

f(x) = ln(3x² + 4)x = 1

f′(1) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 4. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ − 10,5x² + 36x − 4

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 250 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد أصغر مساحة سطحية ممكنة A.

V = 250 cm³

A = cm²

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

يبيع مسرح 420 تذكرة في كل عرض بسعر €12 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 20 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 20 تذكرة أكثر). أوجد سعر التذكرة p الذي يجعل الإيراد أكبر ما يمكن.

420 × €1220 / €1

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 3]

I =

8.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −2

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اضرب في المرافق

f(x) = −4x/(√(x² − 4x) + x)

اقسم على x

f(x) = −4/(√(1 + (−4)/x) + 1)

اجعل x → ∞

L = −4/(1 + 1) = −2

الإجابة

L = −2

2.النهايات

الإجابة: L = 2

التطبيق الأول

(−2·e^−2x + 2)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

4·e^−2x/2

عوّض x = 0

L = 4·1/2 = 2

الإجابة

L = 2

3.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 0,8571

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 6x/(3x² + 4)

عوّض

f′(1) = 6/7 = 0,8571

الإجابة

f′(1) = 0,8571

4.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 21x + 36 = 3·(x² − 7x + 12)

حُلّ f′(x) = 0

x = 3 أو x = 4

أيهما أي

f″(x) = 6x − 21: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(3) = −3, f″(4) = 3

x = 3

الإجابة

x = 3

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: A = 219,7 cm²

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 250/(πr²)

A(r) = 2πr² + 500/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 1000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 500/r² = 0 → r = ∛(250/(2π)) = 3,414 cm

الارتفاع والمساحة

h = 250/(π·3,414²) = 2r = 6,828 cm

A = 2π·3,414² + 500/3,414 = 219,7 cm²

الإجابة

A = 219,7 cm²

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 16,5 €

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 660 − 20p

R(p) = 660p − 20p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −40 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 660/40 = €16,5

أقصى إيراد

n = 660 − 20·16,5 = 330

R = 16,5·330 = €5445

الإجابة

p = €16,5

7.التكاملات

الإجابة: I = 1,554

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

عوّض الحدود

I = (e^−1,5 − 1)/(−0,5) = (0,2231 − 1)/(−0,5) = 1,554

الإجابة

I = 1,554

8.التكاملات

الإجابة: I = 12,78

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

الإجابة

I = 12,78

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1