التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (2x² − x + 7)/(2x² + 4x + 6).

f(x) = (2x² − x + 7)/(2x² + 4x + 6)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(4x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(4x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(2x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 0,5 rad

f′(0.5) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 6x² + 9x − 6. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 6x² + 9x − 6

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

صندوق مفتوح (بلا غطاء) بقاعدة مربعة يجب أن يتّسع لـ 4000 cm³. استخدم أقل مادة ممكنة، أي أصغر مساحة للقاعدة والجوانب الأربعة. أوجد أصغر مساحة سطحية S.

V = 4000 cm³

S = cm²

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 120 − 0,1q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 5300 + 55q يورو. أوجد أقصى ربح أسبوعي P.

p = 120 − 0,1qC = 5300 + 55q

P = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 2]

I =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 3x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 3xy = 2x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 1

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(2 + (−1)/x + 7/x²)/(2 + 4/x + 6/x²)

اجعل x → ∞

L = 2/2 = 1

الإجابة

L = 1

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 0,75

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[4·cos 4x]

عوّض x = 0

L = 3/4 = 0,75

الإجابة

L = 0,75

3.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 1,382

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

عوّض

f′(0,5) = 0,8415 + 1·0,5403 = 1,382

الإجابة

f′(0,5) = 1,382

4.المشتقات

الإجابة: x = 3

المشتقة

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

حُلّ f′(x) = 0

x = 1 أو x = 3

أيهما أي

f″(x) = 6x − 12: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 3

الإجابة

x = 3

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: S = 1200 cm²

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في x

S(x) = x² + 16000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x³ = 8000 → x = 20 cm

الارتفاع والمساحة

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

الإجابة

S = 1200 cm²

أفضل صندوق مفتوح ارتفاعه نصف عرضه.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: P = 5263 €

دالة الربح

P(q) = (120 − 0,1q)·q − (5300 + 55q) = −0,1q² + 65q − 5300

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,2 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 65/0,2 = 325

السعر والربح

p = 120 − 0,1·325 = €87,5

P = 65·325 − 0,1·325² − 5300 = €5263

الإجابة

P = €5263

7.التكاملات

الإجابة: I = 41,33

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u² du

كامل وعوّض الحدود

I = [u³/3]₁⁵ = (125 − 1)/3 = 41,33

الإجابة

I = 41,33

8.التكاملات

الإجابة: V = 12,72

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

3x = 2x² → x = 0, x = 1,5

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀^1,5 ((3x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(9·1,5³/3 − 4·1,5⁵/5) = π·4,05 = 12,72

الإجابة

V = 12,72

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1