التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 + 2/x)^x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 2/x)^xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(3x² + 5). أوجد f′(3).

f(x) = ln(3x² + 5)x = 3

f′(3) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 5. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ + 10,5x² + 36x − 5

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 400 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €20 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €10 للمتر. أوجد أدنى تكلفة كلية C.

A = 400 m²€20/m€10/m

C = €

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة صغيرة تبيع منتجها بسعر سوق ثابت قدره €45 للوحدة. إنتاج q وحدة يكلّف C(q) = 1600 + 12q + 0,05q² يورو. أوجد الإنتاج q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = €45C = 1600 + 12q + 0,05q²

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(2x) من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1

V =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 6x والقطع المكافئ y = 3x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 6xy = 3x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 7,389

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 2/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·2 = 2

أزل اللوغاريتم

L = e² = 7,389

الإجابة

L = 7,389

2.النهايات

الإجابة: L = 0,6667

التطبيق الأول

2·sin 2x/(6x) → 0/0

التطبيق الثاني

4·cos 2x/6

عوّض x = 0

L = 4/6 = 0,6667

الإجابة

L = 0,6667

3.المشتقات

الإجابة: f′(3) = 0,5625

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 6x/(3x² + 5)

عوّض

f′(3) = 18/32 = 0,5625

الإجابة

f′(3) = 0,5625

4.المشتقات

الإجابة: x = −3

المشتقة

f′(x) = 3x² + 21x + 36 = 3·(x² + 7x + 12)

حُلّ f′(x) = 0

x = −4 أو x = −3

أيهما أي

f″(x) = 6x + 21: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−4) = −3, f″(−3) = 3

x = −3

الإجابة

x = −3

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: C = 979,8 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 30x + 8000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 16000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(8000/30) = 16,33 m

y = 400/16,33 = 24,49 m

أدنى تكلفة

C = 30·16,33 + 8000/16,33 = €979,8

الإجابة

C = €979,8

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 330 وحدة

دالة الربح

P(q) = 45q − (1600 + 12q + 0,05q²) = −0,05q² + 33q − 1600

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,1 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

33 − 0,1q = 0 → q = 330

أقصى ربح

P = 33·330 − 0,05·330² − 1600 = €3845

الإجابة

q = 330

7.التكاملات

الإجابة: V = 3,142

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 2x dx

كامل

V = π·2·1²/2 = 3,142

الإجابة

V = 3,142

8.التكاملات

الإجابة: V = 120,6

نقاط التقاطع

6x = 3x² → x = 0, x = 2

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀² ((6x)² − (3x²)²) dx

كامل

V = π(36·2³/3 − 9·2⁵/5) = π·38,4 = 120,6

الإجابة

V = 120,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1