التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (−6x² + 2x − 3)/(5x² + 5x + 2).

f(x) = (−6x² + 2x − 3)/(5x² + 5x + 2)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 4x)/(4x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 4x)/(4x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(3x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(2).

f(x) = x·sin(3x)x = 2 rad

f′(2) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 6x² + 2. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ − 6x² + 2

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 400 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 400 cm³

r = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 70 − 0,25q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 300 + 40q يورو. أوجد السعر p الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 70 − 0,25qC = 300 + 40q

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 0,5x من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 2x والقطع المكافئ y = 0,5x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 2xy = 0,5x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −1,2

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−6 + 2/x + (−3)/x²)/(5 + 5/x + 2/x²)

اجعل x → ∞

L = −6/5 = −1,2

الإجابة

L = −1,2

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 2

التطبيق الأول

4·sin 4x/(8x) → 0/0

التطبيق الثاني

16·cos 4x/8

عوّض x = 0

L = 16/8 = 2

الإجابة

L = 2

3.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 5,482

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

عوّض

f′(2) = −0,2794 + 6·0,9602 = 5,482

الإجابة

f′(2) = 5,482

4.المشتقات

الإجابة: x = 4

المشتقة

f′(x) = 3x² − 12x = 3·(x² − 4x)

حُلّ f′(x) = 0

x = 0 أو x = 4

أيهما أي

f″(x) = 6x − 12: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(0) = −12, f″(4) = 12

x = 4

الإجابة

x = 4

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 3,993 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 400/(πr²)

A(r) = 2πr² + 800/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm

الارتفاع والمساحة

h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm

A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²

الإجابة

r = 3,993 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 55 €

دالة الربح

P(q) = (70 − 0,25q)·q − (300 + 40q) = −0,25q² + 30q − 300

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,5 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 30/0,5 = 60

السعر والربح

p = 70 − 0,25·60 = €55

P = 30·60 − 0,25·60² − 300 = €600

الإجابة

p = €55

7.التكاملات

الإجابة: V = 0,2618

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 0,25x² dx

كامل

V = π·0,25·1³/3 = 0,2618

الإجابة

V = 0,2618

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 0,5 وارتفاعه 1 الحجم (1/3)πr²h = 0,2618.

8.التكاملات

الإجابة: V = 107,2

نقاط التقاطع

2x = 0,5x² → x = 0, x = 4

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀⁴ ((2x)² − (0,5x²)²) dx

كامل

V = π(4·4³/3 − 0,25·4⁵/5) = π·34,13 = 107,2

الإجابة

V = 107,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1