التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (−4x² + 2x + 1)/(2x² + 3x + 8).

f(x) = (−4x² + 2x + 1)/(2x² + 3x + 8)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(3x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 5x)/(3x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x³·e^x. أوجد f′(2).

f(x) = x³·e^xx = 2

f′(2) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 2x² + x + 1 عند x = 1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 2x² + x + 1x = 1

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 300 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €40 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €12 للمتر. أوجد طول x جانب الشارع الذي يجعل التكلفة أقل ما يمكن.

A = 300 m²€40/m€12/m

x = m

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة صغيرة تبيع منتجها بسعر سوق ثابت قدره €65 للوحدة. إنتاج q وحدة يكلّف C(q) = 22100 + 18q + 0,01q² يورو. أوجد أقصى ربح P.

p = €65C = 22100 + 18q + 0,01q²

P = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁶ x·ln x dx.

∫₁⁶ x ln x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 9 − x² والمحور x.

y = 9 − x²

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −2

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−4 + 2/x + 1/x²)/(2 + 3/x + 8/x²)

اجعل x → ∞

L = −4/2 = −2

الإجابة

L = −2

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 4,167

التطبيق الأول

5·sin 5x/(6x) → 0/0

التطبيق الثاني

25·cos 5x/6

عوّض x = 0

L = 25/6 = 4,167

الإجابة

L = 4,167

3.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 147,8

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة الضرب

f′(x) = u′v + uv′ = e^x·(3x² + 1·x³)

عوّض

f′(2) = 7,389·(12 + 8) = 147,8

الإجابة

f′(2) = 147,8

4.المشتقات

الإجابة: b = −1

النقطة والميل

f(1) = 4

f′(x) = 4x + 1 → f′(1) = 5

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − 5·1 = −1

الإجابة

b = −1

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: x = 11,77 m

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 52x + 7200/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 14400/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(7200/52) = 11,77 m

y = 300/11,77 = 25,5 m

أدنى تكلفة

C = 52·11,77 + 7200/11,77 = €1224

الإجابة

x = 11,77 m

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: P = 33125 €

دالة الربح

P(q) = 65q − (22100 + 18q + 0,01q²) = −0,01q² + 47q − 22100

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,02 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

47 − 0,02q = 0 → q = 2350

أقصى ربح

P = 47·2350 − 0,01·2350² − 22100 = €33125

الإجابة

P = €33125

7.التكاملات

الإجابة: I = 23,5

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(18·ln 6 − 9) − (0 − 0,25) = 23,5

الإجابة

I = 23,5

8.التكاملات

الإجابة: A = 36

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

9 − x² = 0 → x = ±3

كامل

A = [9x − x³/3]₋₃³ = 18 − (−18) = 36

الإجابة

A = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1