التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^3x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 0,5/x)^3xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + x)/sin(5x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + x)/sin(5x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 1). أوجد f′(2).

f(x) = ln(2x² + 1)x = 2

f′(2) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 1,5x² − 6x + 3. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ + 1,5x² − 6x + 3

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 1200 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €15 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €5 للمتر. أوجد أدنى تكلفة كلية C.

A = 1200 m²€15/m€5/m

C = €

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 80 − 0,25q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 2500 + 10q يورو. أوجد السعر p الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 80 − 0,25qC = 2500 + 10q

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² e^−0,5x dx.

f(x) = e^−0,5x[0, 2]

I =

8.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀^0,5 x²·eˣ dx.

∫₀^0,5 x²eˣ dx

I =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 4,482

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 + 0,5/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·0,5 = 1,5

أزل اللوغاريتم

L = e^1,5 = 4,482

الإجابة

L = 4,482

2.النهايات

الإجابة: L = 0,2

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [1/(1 + x)]/[5·cos 5x]

عوّض x = 0

L = 1/5 = 0,2

الإجابة

L = 0,2

3.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 0,8889

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 1)

عوّض

f′(2) = 8/9 = 0,8889

الإجابة

f′(2) = 0,8889

4.المشتقات

الإجابة: x = −2

المشتقة

f′(x) = 3x² + 3x − 6 = 3·(x² + x − 2)

حُلّ f′(x) = 0

x = −2 أو x = 1

أيهما أي

f″(x) = 6x + 3: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−2) = −9, f″(1) = 9

x = −2

الإجابة

x = −2

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: C = 979,8 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 20x + 12000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 24000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(12000/20) = 24,49 m

y = 1200/24,49 = 48,99 m

أدنى تكلفة

C = 20·24,49 + 12000/24,49 = €979,8

الإجابة

C = €979,8

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 45 €

دالة الربح

P(q) = (80 − 0,25q)·q − (2500 + 10q) = −0,25q² + 70q − 2500

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,5 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 70/0,5 = 140

السعر والربح

p = 80 − 0,25·140 = €45

P = 70·140 − 0,25·140² − 2500 = €2400

الإجابة

p = €45

7.التكاملات

الإجابة: I = 1,264

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−0,5x/(−0,5)

عوّض الحدود

I = (e⁻¹ − 1)/(−0,5) = (0,3679 − 1)/(−0,5) = 1,264

الإجابة

I = 1,264

8.التكاملات

الإجابة: I = 0,0609

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

1,649·(1,25) − 1·2 = 0,0609

الإجابة

I = 0,0609

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1