التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر
جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية
اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
قاعدة لوبيتال
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة
اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة
xyy = L

أوجد النهاية L = limx→∞ (−x3 − 3x + 3)/(4x3 + x + 4).

f(x) = (−x3 − 3x + 3)/(4x3 + x + 4)x → ∞
L =
2.النهاياتصعبة
xyx = 0

أوجد النهاية L = limx→0 (1 − cos 5x)/(4x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 5x)/(4x²)x → 0
L =
3.المشتقاتمتوسطة
xyx = 0

لتكن f(x) = (−2x + 1)4. أوجد f′(0).

f(x) = (−2x + 1)4x = 0
f′(0) =
4.المشتقاتصعبة
xy

لتكن f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 3. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x3 − 3x2 − 9x + 3
x =
5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة
rh

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 1000 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 1000 cm³
r = cm
6.التحسين (القيم القصوى)صعبة
p (€)R(p)15الآن

يبيع مسرح 190 تذكرة في كل عرض بسعر €15 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 10 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 10 تذكرة أكثر). أوجد سعر التذكرة p الذي يجعل الإيراد أكبر ما يمكن.

190 × €1510 / €1
p = €
7.التكاملاتمتوسطة
xy11,5y = x ln x

احسب I = ∫₁1,5 x·ln x dx.

∫₁1,5 x ln x dx
I =
8.التكاملاتصعبة
xyy = x2​y = 4x

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = x2 و y = 4x.

y = x2y = 4x
A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −0,25

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−1 + (−3)/x2 + 3/x3)/(4 + 1/x2 + 4/x3)

اجعل x → ∞

L = −1/4 = −0,25

الإجابة

L = −0,25

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 3,125

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

التطبيق الأول

5·sin 5x/(8x) → 0/0

التطبيق الثاني

25·cos 5x/8

عوّض x = 0

L = 25/8 = 3,125

الإجابة

L = 3,125
3.المشتقات

الإجابة: f′(0) = −8

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 4·(−2x + 1)3·(−2)

عوّض

f′(0) = 4·13·(−2) = −8

الإجابة

f′(0) = −8
4.المشتقات

الإجابة: x = −1

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

المشتقة

f′(x) = 3x2 − 6x − 9 = 3·(x2 − 2x − 3)

حُلّ f′(x) = 0

x = −1 أو x = 3

أيهما أي

f″(x) = 6x − 6: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−1) = −12, f″(3) = 12
x = −1

الإجابة

x = −1
5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 5,419 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 1000/(πr²)
A(r) = 2πr² + 2000/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

الارتفاع والمساحة

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm
A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

الإجابة

r = 5,419 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 17 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 340 − 10p
R(p) = 340p − 10p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −20 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 340/20 = €17

أقصى إيراد

n = 340 − 10·17 = 170
R = 17·170 = €2890

الإجابة

p = €17
7.التكاملات

الإجابة: I = 0,1436

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(1,125·ln 1,5 − 0,5625) − (0 − 0,25) = 0,1436

الإجابة

I = 0,1436
8.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

x2 = 4x → x = 0, x = 4

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [2x2 − 0,3333x3]04 = 10,67

الإجابة

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1