التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (3x² + 5x − 5)/(5x² + 4x + 8).

f(x) = (3x² + 5x − 5)/(5x² + 4x + 8)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + 3x)/sin(2x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 3x)/sin(2x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(3x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(1).

f(x) = x·sin(3x)x = 1 rad

f′(1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 3x² − 3x − 2 عند x = −1 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x² − 3x − 2x = −1

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 800 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €40 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €5 للمتر. أوجد طول x جانب الشارع الذي يجعل التكلفة أقل ما يمكن.

A = 800 m²€40/m€5/m

x = m

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

يبيع مسرح 1400 تذكرة في كل عرض بسعر €20 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 50 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 50 تذكرة أكثر). أوجد أقصى إيراد R لكل عرض.

1400 × €2050 / €1

R = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)² dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)²[0, 1]

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 1 − x² والمحور x.

y = 1 − x²

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,6

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(3 + 5/x + (−5)/x²)/(5 + 4/x + 8/x²)

اجعل x → ∞

L = 3/5 = 0,6

الإجابة

L = 0,6

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 1,5

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [3/(1 + 3x)]/[2·cos 2x]

عوّض x = 0

L = 3/2 = 1,5

الإجابة

L = 1,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(1) = −2,829

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(3x) + 3x·cos(3x)

عوّض

f′(1) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

الإجابة

f′(1) = −2,829

4.المشتقات

الإجابة: b = −5

النقطة والميل

f(−1) = 4

f′(x) = 6x − 3 → f′(−1) = −9

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 4 − (−9)·(−1) = −5

الإجابة

b = −5

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: x = 13,33 m

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 45x + 8000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 16000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(8000/45) = 13,33 m

y = 800/13,33 = 60 m

أدنى تكلفة

C = 45·13,33 + 8000/13,33 = €1200

الإجابة

x = 13,33 m

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: R = 28800 €

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 2400 − 50p

R(p) = 2400p − 50p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −100 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 2400/100 = €24

أقصى إيراد

n = 2400 − 50·24 = 1200

R = 24·1200 = €28800

الإجابة

R = €28800

7.التكاملات

الإجابة: I = 2,333

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u² du

كامل وعوّض الحدود

I = [u³/3]₁² = (8 − 1)/3 = 2,333

الإجابة

I = 2,333

8.التكاملات

الإجابة: A = 1,333

الأصفار

1 − x² = 0 → x = ±1

كامل

A = [1x − x³/3]₋₁¹ = 0,6667 − (−0,6667) = 1,333

الإجابة

A = 1,333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1