التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^2x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 − 1/x)^2xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + 2x)/sin(3x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 2x)/sin(3x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (4x + 1)⁵. أوجد f′(1).

f(x) = (4x + 1)⁵x = 1

f′(1) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 4. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 4

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 1000 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد ارتفاع h العلبة التي تستهلك أقل كمية من المادة.

V = 1000 cm³

h = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة صغيرة تبيع منتجها بسعر سوق ثابت قدره €75 للوحدة. إنتاج q وحدة يكلّف C(q) = 200 + 40q + 0,5q² يورو. أوجد الإنتاج q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = €75C = 200 + 40q + 0,5q²

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ x·sin x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀¹ x·sin x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 5x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 5xy = 2x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,1353

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ 2·x·ln(1 − 1/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 2·(−1) = −2

أزل اللوغاريتم

L = e⁻² = 0,1353

الإجابة

L = 0,1353

2.النهايات

الإجابة: L = 0,6667

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [2/(1 + 2x)]/[3·cos 3x]

عوّض x = 0

L = 2/3 = 0,6667

الإجابة

L = 0,6667

3.المشتقات

الإجابة: f′(1) = 12500

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 5·(4x + 1)⁴·4

عوّض

f′(1) = 5·5⁴·4 = 12500

الإجابة

f′(1) = 12500

4.المشتقات

الإجابة: x = −2

المشتقة

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

حُلّ f′(x) = 0

x = −3 أو x = −2

أيهما أي

f″(x) = 6x + 15: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

الإجابة

x = −2

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: h = 10,84 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 1000/(πr²)

A(r) = 2πr² + 2000/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 4000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 2000/r² = 0 → r = ∛(1000/(2π)) = 5,419 cm

الارتفاع والمساحة

h = 1000/(π·5,419²) = 2r = 10,84 cm

A = 2π·5,419² + 2000/5,419 = 553,6 cm²

الإجابة

h = 10,84 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 35 وحدة

دالة الربح

P(q) = 75q − (200 + 40q + 0,5q²) = −0,5q² + 35q − 200

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −1 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

35 − 1q = 0 → q = 35

أقصى ربح

P = 35·35 − 0,5·35² − 200 = €412,5

الإجابة

q = 35

7.التكاملات

الإجابة: I = 0,3012

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = sin x dx, v = −cos x

الدالة الأصلية

∫x sin x dx = −x cos x + ∫cos x dx = −x cos x + sin x

النهايات

(−1·cos 1 + sin 1) − (0 + 0) = 0,3012

الإجابة

I = 0,3012

8.التكاملات

الإجابة: V = 163,6

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

5x = 2x² → x = 0, x = 2,5

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀^2,5 ((5x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(25·2,5³/3 − 4·2,5⁵/5) = π·52,08 = 163,6

الإجابة

V = 163,6

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1