التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^3x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 − 1/x)^3xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (e^−x − 1 + x)/x².

f(x) = (e^−x − 1 + x)/x²x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 2). أوجد f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = −x² + 4x + 5 عند x = 2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = −x² + 4x + 5x = 2

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

صندوق مفتوح (بلا غطاء) بقاعدة مربعة يجب أن يتّسع لـ 4000 cm³. استخدم أقل مادة ممكنة، أي أصغر مساحة للقاعدة والجوانب الأربعة. أوجد ضلع القاعدة x.

V = 4000 cm³

x = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 130 − 0,2q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 2500 + 30q يورو. أوجد الإنتاج الأسبوعي q الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 130 − 0,2qC = 2500 + 30q

q = وحدة

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 2x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 2xy = 2x²

V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,04979

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ 3·x·ln(1 − 1/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 3·(−1) = −3

أزل اللوغاريتم

L = e⁻³ = 0,04979

الإجابة

L = 0,04979

2.النهايات

الإجابة: L = 0,5

التطبيق الأول

(−1·e^−x + 1)/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

1·e^−x/2

عوّض x = 0

L = 1·1/2 = 0,5

الإجابة

L = 0,5

3.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = −1

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

عوّض

f′(−1) = −4/4 = −1

الإجابة

f′(−1) = −1

4.المشتقات

الإجابة: b = 9

النقطة والميل

f(2) = 9

f′(x) = −2x + 4 → f′(2) = 0

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 9 − 0·2 = 9

الإجابة

b = 9

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: x = 20 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في x

S(x) = x² + 16000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x³ = 8000 → x = 20 cm

الارتفاع والمساحة

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

الإجابة

x = 20 cm

أفضل صندوق مفتوح ارتفاعه نصف عرضه.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: q = 250 وحدة

دالة الربح

P(q) = (130 − 0,2q)·q − (2500 + 30q) = −0,2q² + 100q − 2500

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,4 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 100/0,4 = 250

السعر والربح

p = 130 − 0,2·250 = €80

P = 100·250 − 0,2·250² − 2500 = €10000

الإجابة

q = 250

7.التكاملات

الإجابة: I = 0,6363

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

الإجابة

I = 0,6363

8.التكاملات

الإجابة: V = 1,676

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

2x = 2x² → x = 0, x = 1

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀¹ ((2x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(4·1³/3 − 4·1⁵/5) = π·0,5333 = 1,676

الإجابة

V = 1,676

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1