التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر
جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر
xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق
(√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية
اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة
limx→∞ (1 + a/x)bx = eab
قاعدة لوبيتال
lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة
(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب
(uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة
(u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة
f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة
(eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

  1. حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
  2. طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
  3. استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
  4. بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة
اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى
Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى
Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة
V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح
P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة
xyy = L

أوجد النهاية L = limx→∞ (−4x2 + 5x − 7)/(5x2 + 4x + 1).

f(x) = (−4x2 + 5x − 7)/(5x2 + 4x + 1)x → ∞
L =
2.النهاياتصعبة
xyx = 0

أوجد النهاية L = limx→0 (1 − cos 4x)/(x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 4x)/(x²)x → 0
L =
3.المشتقاتمتوسطة
xyx = 0,5

لتكن f(x) = x·sin(x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(0,5).

f(x) = x·sin(x)x = 0,5 rad
f′(0.5) =
4.المشتقاتصعبة
xyx = 3

المماس لـ f(x) = 3x2 + 2x + 2 عند x = 3 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x2 + 2x + 2x = 3
b =
5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة
rh

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 750 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد نصف القطر r الذي يستهلك أقل كمية من المادة.

V = 750 cm³
r = cm
6.التحسين (القيم القصوى)صعبة
p (€)R(p)15الآن

يبيع مسرح 680 تذكرة في كل عرض بسعر €15 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 20 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 20 تذكرة أكثر). أوجد سعر التذكرة p الذي يجعل الإيراد أكبر ما يمكن.

680 × €1520 / €1
p = €
7.التكاملاتمتوسطة
xy2y = 3x

تُدوَّر المنطقة تحت y = 3x من x = 0 إلى x = 2 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 3x0 ≤ x ≤ 2
V =
8.التكاملاتصعبة
xy1,333y = 4xy = 3x²

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 4x والقطع المكافئ y = 3x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 4xy = 3x²
V =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = −0,8

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(−4 + 5/x + (−7)/x2)/(5 + 4/x + 1/x2)

اجعل x → ∞

L = −4/5 = −0,8

الإجابة

L = −0,8

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 8

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

التطبيق الأول

4·sin 4x/(2x) → 0/0

التطبيق الثاني

16·cos 4x/2

عوّض x = 0

L = 16/2 = 8

الإجابة

L = 8
3.المشتقات

الإجابة: f′(0.5) = 0,9182

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(x) + x·cos(x)

عوّض

f′(0,5) = 0,4794 + 0,5·0,8776 = 0,9182

الإجابة

f′(0,5) = 0,9182
4.المشتقات

الإجابة: b = −25

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

النقطة والميل

f(3) = 35
f′(x) = 6x + 2 → f′(3) = 20

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 35 − 20·3 = −25

الإجابة

b = −25
5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: r = 4,924 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 750/(πr²)
A(r) = 2πr² + 1500/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 3000/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 1500/r² = 0 → r = ∛(750/(2π)) = 4,924 cm

الارتفاع والمساحة

h = 750/(π·4,924²) = 2r = 9,847 cm
A = 2π·4,924² + 1500/4,924 = 457 cm²

الإجابة

r = 4,924 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 24,5 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 980 − 20p
R(p) = 980p − 20p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −40 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 980/40 = €24,5

أقصى إيراد

n = 980 − 20·24,5 = 490
R = 24,5·490 = €12005

الإجابة

p = €24,5
7.التكاملات

الإجابة: V = 75,4

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀2 9x² dx

كامل

V = π·9·2³/3 = 75,4

الإجابة

V = 75,4

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 6 وارتفاعه 2 الحجم (1/3)πr²h = 75,4.

8.التكاملات

الإجابة: V = 15,89

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

كامل

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

الإجابة

V = 15,89

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1