التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 − 1/x)^x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 − 1/x)^xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 2x)/(3x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 2x)/(3x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = x·sin(2x)، حيث x بالراديان. أوجد f′(1,5).

f(x) = x·sin(2x)x = 1,5 rad

f′(1.5) =

4.المشتقاتصعبة

المماس لـ f(x) = 3x² + 3x − 6 عند x = 2 يقطع المحور y عند y = b. أوجد b.

f(x) = 3x² + 3x − 6x = 2

b =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

صندوق مفتوح (بلا غطاء) بقاعدة مربعة يجب أن يتّسع لـ 4000 cm³. استخدم أقل مادة ممكنة، أي أصغر مساحة للقاعدة والجوانب الأربعة. أوجد الارتفاع h.

V = 4000 cm³

h = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

يبيع مسرح 1900 تذكرة في كل عرض بسعر €10 للتذكرة. تُظهر دراسة السوق أن كل زيادة بمقدار €1 في سعر التذكرة تعني بيع 50 تذكرة أقل (وكل تخفيض بمقدار €1 يعني 50 تذكرة أكثر). أوجد سعر التذكرة p الذي يجعل الإيراد أكبر ما يمكن.

1900 × €1050 / €1

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² x·cos x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀² x·cos x dx

I =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x² و y = 2x.

y = 2x²y = 2x

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,3679

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 − 1/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·(−1) = −1

أزل اللوغاريتم

L = e⁻¹ = 0,3679

الإجابة

L = 0,3679

2.النهايات

الإجابة: L = 0,6667

التطبيق الأول

2·sin 2x/(6x) → 0/0

التطبيق الثاني

4·cos 2x/6

عوّض x = 0

L = 4/6 = 0,6667

الإجابة

L = 0,6667

3.المشتقات

الإجابة: f′(1.5) = −2,829

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدتا الضرب والسلسلة

f′(x) = sin(2x) + 2x·cos(2x)

عوّض

f′(1,5) = 0,1411 + 3·(−0,99) = −2,829

الإجابة

f′(1,5) = −2,829

4.المشتقات

الإجابة: b = −18

النقطة والميل

f(2) = 12

f′(x) = 6x + 3 → f′(2) = 15

المماس عند x = 0

b = f(x₀) − f′(x₀)·x₀ = 12 − 15·2 = −18

الإجابة

b = −18

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: h = 10 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في x

S(x) = x² + 16000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

S″(x) = 2 + 32000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x³ = 8000 → x = 20 cm

الارتفاع والمساحة

h = 4000/20² = 10 cm

S = 20² + 16000/20 = 1200 cm²

الإجابة

h = 10 cm

أفضل صندوق مفتوح ارتفاعه نصف عرضه.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 24 €

الإيرادات كدالة في السعر

n(p) = 2400 − 50p

R(p) = 2400p − 50p²

ساوِ المشتقة بالصفر

R″(p) = −100 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

p = 2400/100 = €24

أقصى إيراد

n = 2400 − 50·24 = 1200

R = 24·1200 = €28800

الإجابة

p = €24

7.التكاملات

الإجابة: I = 0,4024

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

الدالة الأصلية

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

النهايات

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

الإجابة

I = 0,4024

8.التكاملات

الإجابة: A = 0,3333

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

2x² = 2x → x = 0, x = 1

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [x² − 0,6667x³]₀¹ = 0,3333

الإجابة

A = 0,3333

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1