التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (3x³ + 3x − 7)/(4x³ + x + 5).

f(x) = (3x³ + 3x − 7)/(4x³ + x + 5)x → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 ln(1 + 4x)/sin(5x)، مع x بالراديان.

f(x) = ln(1 + 4x)/sin(5x)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = (−2x − 1)⁴. أوجد f′(2).

f(x) = (−2x − 1)⁴x = 2

f′(2) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ − 6x² + 9x + 6. أوجد الإحداثي x x للقيمة العظمى المحلية.

f(x) = x³ − 6x² + 9x + 6

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

قطعة أرض مستطيلة مساحتها 300 m² مسيَّجة من جوانبها الأربعة. الجانب المطلّ على الشارع، وطوله x، يكلّف €25 للمتر؛ والجوانب الثلاثة الأخرى تكلّف €5 للمتر. أوجد أدنى تكلفة كلية C.

A = 300 m²€25/m€5/m

C = €

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 170 − 1q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 400 + 115q يورو. أوجد السعر p الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 170 − 1qC = 400 + 115q

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 3x من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 4 − x² والمحور x.

y = 4 − x²

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 0,75

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

اقسم على أعلى قوة

(3 + 3/x² + (−7)/x³)/(4 + 1/x² + 5/x³)

اجعل x → ∞

L = 3/4 = 0,75

الإجابة

L = 0,75

عند تساوي الدرجتين تكون النهاية نسبة المعاملين الرئيسيين.

2.النهايات

الإجابة: L = 0,8

قاعدة لوبيتال

L = lim_x→0 [4/(1 + 4x)]/[5·cos 5x]

عوّض x = 0

L = 4/5 = 0,8

الإجابة

L = 0,8

3.المشتقات

الإجابة: f′(2) = 1000

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة

f′(x) = 4·(−2x − 1)³·(−2)

عوّض

f′(2) = 4·(−5)³·(−2) = 1000

الإجابة

f′(2) = 1000

4.المشتقات

الإجابة: x = 1

المشتقة

f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3·(x² − 4x + 3)

حُلّ f′(x) = 0

x = 1 أو x = 3

أيهما أي

f″(x) = 6x − 12: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(1) = −6, f″(3) = 6

x = 1

الإجابة

x = 1

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: C = 600 €

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

التكلفة كدالة في x

C(x) = 30x + 3000/x

ساوِ المشتقة بالصفر

C″(x) = 6000/x³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

x = √(3000/30) = 10 m

y = 300/10 = 30 m

أدنى تكلفة

C = 30·10 + 3000/10 = €600

الإجابة

C = €600

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 142,5 €

دالة الربح

P(q) = (170 − 1q)·q − (400 + 115q) = −q² + 55q − 400

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −2 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 55/2 = 27,5

السعر والربح

p = 170 − 1·27,5 = €142,5

P = 55·27,5 − 1·27,5² − 400 = €356,3

الإجابة

p = €142,5

7.التكاملات

الإجابة: V = 9,425

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 9x² dx

كامل

V = π·9·1³/3 = 9,425

الإجابة

V = 9,425

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 3 وارتفاعه 1 الحجم (1/3)πr²h = 9,425.

8.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

4 − x² = 0 → x = ±2

كامل

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

الإجابة

A = 10,67

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1