التفاضل والتكامل 1: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

النهايات

التعويض المباشر: جرّب x = a أولًا؛ 0/0 يعني أنه يجب التبسيط
حلّل واختصر: xⁿ − aⁿ = (x − a)(xⁿ⁻¹ + a·xⁿ⁻² + … + aⁿ⁻¹)
المرافق: (√x − √a)(√x + √a) = x − a
النهايات عند اللانهاية: اقسم على أعلى قوة لـ x؛ الدرجات المتساوية تعطي نسبة المعاملات الرئيسية
نهاية خاصة: lim_x→∞ (1 + a/x)^bx = e^ab
قاعدة لوبيتال: lim f/g = lim f′/g′ (0/0 or ∞/∞)

المشتقات

قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹
قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′
قاعدة القسمة: (u/v)′ = (u′v − uv′)/v²
قاعدة السلسلة: f(g(x))′ = f′(g(x))·g′(x)
مشتقات شائعة: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x

الطريقة

حدّد البنية: مجموع، أو ضرب، أو قسمة، أو تركيب.
طبّق قاعدة القوة على كل قوة لـ x.
استخدم قاعدة الضرب أو القسمة أو السلسلة حيث يلزم.
بسّط، وعوّض عند النقطة إذا طُلب ذلك.

التحسين (القيم القصوى)

الطريقة: اكتب Q(x) بمتغيّر واحد، وحلّ Q′(x) = 0، وتحقّق من Q″ أو من نقاط الطرفين
القيمة العظمى: Q′(x) = 0, Q″(x) < 0
القيمة الصغرى: Q′(x) = 0, Q″(x) > 0
أسطوانة مغلقة: V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh
الربح: P = R − C, R = p·q, maximum where MR = MC

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

2مسائل تدريبية

1.النهاياتمتوسطة

أوجد النهاية L = lim_x→∞ (1 + 0,5/x)^x. أعطِ قيمة عشرية.

f(x) = (1 + 0,5/x)^xx → ∞

L =

2.النهاياتصعبة

أوجد النهاية L = lim_x→0 (1 − cos 5x)/(2x²)، مع x بالراديان.

f(x) = (1 − cos 5x)/(2x²)x → 0

L =

3.المشتقاتمتوسطة

لتكن f(x) = ln(2x² + 2). أوجد f′(−1).

f(x) = ln(2x² + 2)x = −1

f′(−1) =

4.المشتقاتصعبة

لتكن f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 2. أوجد الإحداثي x x للقيمة الصغرى المحلية.

f(x) = x³ + 7,5x² + 18x + 2

x =

5.التحسين (القيم القصوى)متوسطة

علبة أسطوانية مغلقة (لها غطاء وقاع) يجب أن تتّسع لـ 355 cm³. المعدن المستخدم يتناسب مع المساحة السطحية الكلية. أوجد ارتفاع h العلبة التي تستهلك أقل كمية من المادة.

V = 355 cm³

h = cm

6.التحسين (القيم القصوى)صعبة

شركة تبيع q وحدة أسبوعيًا. السعر الذي تستطيع البيع به p = 90 − 0,2q يورو للوحدة، والتكلفة C(q) = 2600 + 25q يورو. أوجد السعر p الذي يجعل الربح أكبر ما يمكن.

p = 90 − 0,2qC = 2600 + 25q

p = €

7.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = 3x من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = 3x0 ≤ x ≤ 1

V =

8.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x² و y = x.

y = 2x²y = x

A =

3المحاليل

1.النهايات

الإجابة: L = 1,649

النهايات: جرّب أولًا التعويض المباشر. إذا أعطى 0/0، فبسّط أولًا: حلّل واختصر العامل المشترك، أو اضرب في المرافق. عندما x → ∞، اقسم البسط والمقام على أعلى قوة لـ x. قاعدة لوبيتال: إذا أعطت f/g الصيغة 0/0 أو ∞/∞، فإن lim f/g = lim f′/g′، باشتقاق البسط والمقام كلٌّ على حدة (لا بقاعدة القسمة).

خذ اللوغاريتم

ln L = lim_x→∞ x·ln(1 + 0,5/x)

احسب

ln(1 + u)/u → 1 عندما u → 0، لذا x·ln(1 + a/x) → a.

ln L = 1·0,5 = 0,5

أزل اللوغاريتم

L = e^0,5 = 1,649

الإجابة

L = 1,649

2.النهايات

الإجابة: L = 6,25

التطبيق الأول

5·sin 5x/(4x) → 0/0

التطبيق الثاني

25·cos 5x/4

عوّض x = 0

L = 25/4 = 6,25

الإجابة

L = 6,25

3.المشتقات

الإجابة: f′(−1) = −1

الاشتقاق: المشتقة f′(x) هي ميل المنحنى عند x. قاعدة القوة: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. قاعدة الضرب: (uv)′ = u′v + uv′. قاعدة السلسلة: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). حيث f′(x) = 0 يكون للمنحنى مماس أفقي: قيمة عظمى أو صغرى أو نقطة سرج.

قاعدة السلسلة للوغاريتم

f′(x) = 4x/(2x² + 2)

عوّض

f′(−1) = −4/4 = −1

الإجابة

f′(−1) = −1

4.المشتقات

الإجابة: x = −2

المشتقة

f′(x) = 3x² + 15x + 18 = 3·(x² + 5x + 6)

حُلّ f′(x) = 0

x = −3 أو x = −2

أيهما أي

f″(x) = 6x + 15: سالبة عند القيمة العظمى، وموجبة عند الصغرى.

f″(−3) = −3, f″(−2) = 3

x = −2

الإجابة

x = −2

5.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: h = 7,674 cm

التحسين (القيم القصوى): اكتب الكمية المراد تحسينها كدالة في متغيّر واحد، مستخدمًا القيد لحذف المتغيّر الآخر. اجعل المشتقة صفرًا وحلّ. تحقّق من أن النقطة الحرجة قيمة عظمى أو صغرى (بالمشتقة الثانية أو بتغيّر إشارة المشتقة الأولى) وأنها تقع داخل المجال المسموح؛ فنقطة طرفية مثل ضلع طوله صفر ليست هي الإجابة.

المساحة كدالة في r

h = 355/(πr²)

A(r) = 2πr² + 710/r

ساوِ المشتقة بالصفر

A″(r) = 4π + 1420/r³ > 0، لذا هذه قيمة صغرى.

4πr − 710/r² = 0 → r = ∛(355/(2π)) = 3,837 cm

الارتفاع والمساحة

h = 355/(π·3,837²) = 2r = 7,674 cm

A = 2π·3,837² + 710/3,837 = 277,5 cm²

الإجابة

h = 7,674 cm

أرخص علبة مغلقة ارتفاعها يساوي عرضها: h = 2r.

6.التحسين (القيم القصوى)

الإجابة: p = 57,5 €

دالة الربح

P(q) = (90 − 0,2q)·q − (2600 + 25q) = −0,2q² + 65q − 2600

ساوِ المشتقة بالصفر

P″(q) = −0,4 < 0، لذا هذه قيمة عظمى.

q = 65/0,4 = 162,5

السعر والربح

p = 90 − 0,2·162,5 = €57,5

P = 65·162,5 − 0,2·162,5² − 2600 = €2681

الإجابة

p = €57,5

7.التكاملات

الإجابة: V = 9,425

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 9x² dx

كامل

V = π·9·1³/3 = 9,425

الإجابة

V = 9,425

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 3 وارتفاعه 1 الحجم (1/3)πr²h = 9,425.

8.التكاملات

الإجابة: A = 0,04167

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

2x² = x → x = 0, x = 0,5

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [0,5x² − 0,6667x³]₀^0,5 = 0,04167

الإجابة

A = 0,04167

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-1