التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² e^−x dx.

f(x) = e^−x[0, 2]

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 6x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 6xy = 2x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ 1/(k² + 4)B: Σ 1/√kC: Σ (2/3)ᵏD: Σ 5/k⁴

1A: Σ 1/(k² + 4)
2B: Σ 1/√k
3C: Σ (2/3)ᵏ
4D: Σ 5/k⁴

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = eˣ بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 عند x = 0,3. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = e^0,3 = 1,35 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₄|.

f(x) = eˣn = 4x = 0,3M = 1,35

|R₄| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

استخدم المستوى المماس للدالة f(x, y) = 3y·e^2xy عند (−1, 2) لتقريب f(−0,8, 1,8). أعطِ التقريب الخطي L.

f(x, y) = 3y·e^2xy(a, b) = (−1, 2)(x, y) = (−0,8, 1,8)

L =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

احسب I = ∬_R y dA، حيث R المنطقة بين القطع المكافئ y = x² والمستقيم y = 3x.

y = x²y = 3xf = y

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 6. أوجد y(1,5).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 1y′(0) = 6

y(1.5) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 3y′ + 6,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.5) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 0,8647

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^−x/(−1)

عوّض الحدود

I = (e⁻² − 1)/(−1) = (0,1353 − 1)/(−1) = 0,8647

الإجابة

I = 0,8647

2.التكاملات

الإجابة: V = 407,2

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

6x = 2x² → x = 0, x = 3

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

الإجابة

V = 407,2

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: B: Σ 1/√k

اختبر كل متسلسلة

A: Σ 1/(k² + 4) → أصغر من 1/k²، وهي متسلسلة p متقاربة: تتقارب بالمقارنة.

B: Σ 1/√k → متسلسلة p مع p = 1/2 ≤ 1: تتباعد.

C: Σ (2/3)ᵏ → هندسية مع r = 2/3، |r| < 1: تتقارب.

D: Σ 5/k⁴ → متسلسلة p مع p = 4 > 1: تتقارب.

الجواب

B: Σ 1/√k

الإجابة

B: Σ 1/√k

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₄| = 2,733 × 10⁻⁵

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = e^0,3 = 1,35

حد لاغرانج

|R₄| ≤ 1,35·0,3⁵/5! = 2,733 × 10⁻⁵

الإجابة

|R₄| = 2,733 × 10⁻⁵

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,3) − P₄(0,3)| = 2,131 × 10⁻⁵.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: L = 0,2308

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

القيمة والميلان عند النقطة

f(−1, 2) = 0,1099

f_x = 6y²e^2xy → f_x(−1, 2) = 0,4396

f_y = 3e^2xy(1 + 2xy) → f_y(−1, 2) = −0,1648

المستوى المماس

z = 0,1099 + 0,4396(x + 1) − 0,1648(y − 2)

z = 0,4396x − 0,1648y + 0,8792

التقريب الخطي

L = 0,1099 + 0,4396·0,2 + (−0,1648)·(−0,2) = 0,2308

الإجابة

L = 0,2308

القيمة الدقيقة f = 0,303128؛ والمستوى قريب لأن الخطوة صغيرة.

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 16,2

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

نقاط التقاطع

x² = 3x → x = 0, x = 3

التكامل الداخلي

∫_x²^3x y dy = [y²/2] = (9x² − x⁴)/2

التكامل الخارجي

I = ∫₀³ (9x² − x⁴)/2 dx = 16,2

الإجابة

I = 16,2

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1.5) = 0,05861

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 1, −3A − 5B = 6

A = 5,5, B = −4,5

احسب

y(1,5) = 5,5·e^−4,5 + (−4,5)·e^−7,5 = 0,05861

الإجابة

y(1,5) = 0,05861

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 0,5533

الجذور المركّبة

r = −1,5 ± 2j

الثوابت

A = 1, B = 1,5·1/2 = 0,75

احسب

y(0,5) = e^−0,75(1·cos 1 + 0,75·sin 1) = 0,5533

الإجابة

y(0,5) = 0,5533

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2