التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁴ 1/x dx.

f(x) = 1/x[1, 4]

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 2x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 2xy = x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ k/(k + 9)B: Σ 1/(2k + 5)C: Σ 1/(k² + 3)D: Σ (5/4)ᵏ

1A: Σ k/(k + 9)
2B: Σ 1/(2k + 5)
3C: Σ 1/(k² + 3)
4D: Σ (5/4)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تعرّف على المتسلسلة وجد مجموعها: S = Σ_k=1^∞ k·(−0,5)ᵏ.

a_k = k·(−0,5)ᵏ

S =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

z = −3x³y³ − 4x³ − 3y³ − 2xy مع x = t + 2 و y = −t² + 1. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.

z = −3x³y³ − 4x³ − 3y³ − 2xyx = t + 2y = −t² + 1t = 1

dz/dt =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

للدالة f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6y نقطة حرجة عند (−2, 3). احسب المميِّز D = f_xxf_yy − f_xy² هناك.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 6yP = (−2, 3)

D =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,11 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 7 min.

T₀ = 86 °CT_a = 21 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 7 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 40 kg من الملح؟

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 4 L/min

t = min

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 1,386

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = ln x

عوّض الحدود

I = (ln 4 − ln 1) = ln 4 = 1,386

الإجابة

I = 1,386

2.التكاملات

الإجابة: V = 13,4

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

2x = 1x² → x = 0, x = 2

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀² ((2x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(4·2³/3 − 1·2⁵/5) = π·4,267 = 13,4

الإجابة

V = 13,4

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: C: Σ 1/(k² + 3)

اختبر كل متسلسلة

A: Σ k/(k + 9) → تؤول الحدود إلى 1 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.

B: Σ 1/(2k + 5) → تسلك سلوك 1/(2k) لـ k كبيرة؛ وبالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية تتباعد.

C: Σ 1/(k² + 3) → أصغر من 1/k²، وهي متسلسلة p متقاربة: تتقارب بالمقارنة.

D: Σ (5/4)ᵏ → هندسية مع r = 5/4 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.

الجواب

C: Σ 1/(k² + 3)

الإجابة

C: Σ 1/(k² + 3)

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = −0,2222

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المتسلسلات المعيارية

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

عوّض

x = −0,5

S = −0,5/(1 − (−0,5))² = −0,2222

الإجابة

S = −0,2222

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: dz/dt = −96

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

النقطة والمعدلات

x(1) = 3, y(1) = 0

dx/dt = 1, dy/dt = −2t = −2

المشتقات الجزئية

f_x = −9x²y³ − 12x² − 2y = −108

f_y = −9x³y² − 9y² − 2x = −6

قاعدة السلسلة

dz/dt = (−108)·1 + (−6)·(−2) = −96

الإجابة

dz/dt = −96

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D = −24

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

f_xx = 12, f_yy = −2, f_xy = 0

المميِّز

D = 12·(−2) − 0² = −24

→ نقطة سرج

الإجابة

D = −24

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 51,1 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 21 + 65·e^−0,11t

عوّض t

T(7) = 21 + 65·0,463 = 51,1 °C

الإجابة

T = 51,1 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 127,7 min

النتيجة

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/250

حلّ لإيجاد t

e^−t/250 = (100 − 40)/(100 − 0) = 0,6

t = 250·ln(1,667) = 127,7 min

الإجابة

t = 127,7 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2