التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀² 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 2]

I =

2.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ kᵏ/(3ᵏ·k!). جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = kᵏ/(3ᵏ·k!)

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 للدالة f(x) = sin x لتقريب f(2,5). أعطِ P₅(2,5).

f(x) = sin xn = 5x = 2,5

P₅(2.5) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 2y·e^2xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند (−1, 2) في اتجاه v = (−4, 0).

f(x, y) = 2y·e^2xyP = (−1, 2)v = (−4, 0)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

للدالة f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 4y نقطة حرجة عند (2, 2). احسب المميِّز D = f_xxf_yy − f_xy² هناك.

f(x, y) = −x³ + 12x − y² + 4yP = (2, 2)

D =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 1. أوجد y(2).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 1

y(2) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 13 kg من الملح؟

V = 500 Lm₀ = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 20 L/min

t = min

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 156

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁⁵ u³ du

كامل وعوّض الحدود

I = [u⁴/4]₁⁵ = (625 − 1)/4 = 156

الإجابة

I = 156

2.التكاملات

الإجابة: I = 12,78

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

الإجابة

I = 12,78

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 0,9061

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = (1 + 1/k)ᵏ/3 → e/3

الخلاصة

L = 0,9061 < 1

الإجابة

L = 0,9061

L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₅(2.5) = 0,7096

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵

عوّض

P₅(2,5) = 2,5 − 2,604167 + 0,813802 = 0,7096

الإجابة

P₅(2,5) = 0,7096

القيمة الدقيقة هي f(2,5) = 0,598472؛ ويتناقص الخطأ −0,111163 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = −0,2931

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = 4y²e^2xy → f_x(−1, 2) = 0,2931

f_y = 2e^2xy(1 + 2xy) → f_y(−1, 2) = −0,1099

متّجه الوحدة

|v| = √((−4)² + 0²) = 4

u = (−1, 0)

الضرب القياسي

D_uf = 0,2931·(−1) + (−0,1099)·0 = −0,2931

الإجابة

D_uf = −0,2931

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D = 24

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

f_xx = −12, f_yy = −2, f_xy = 0

المميِّز

D = (−12)·(−2) − 0² = 24

→ نهاية عظمى محلية

الإجابة

D = 24

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 0,01996

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 2, −3A − 4B = 1

A = 9, B = −7

احسب

y(2) = 9·e⁻⁶ + (−7)·e⁻⁸ = 0,01996

الإجابة

y(2) = 0,01996

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 12,77 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

النتيجة

m(t) = 25 + (−20)·e^−t/25

حلّ لإيجاد t

e^−t/25 = (25 − 13)/(25 − 5) = 0,6

t = 25·ln(1,667) = 12,77 min

الإجابة

t = 12,77 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2