التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 2x² و y = 3x.

y = 2x²y = 3x

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σ_k=1^∞ (x − 3)ᵏ/(k²·4ᵏ).

Σ (x − 3)ᵏ/(k²·4ᵏ)x₀ = 3

R =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 للدالة f(x) = ln(1 + x) لتقريب f(0,5). أعطِ P₃(0,5).

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,5

P₃(0.5) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 4x³y − 5x² − 2y² + 3xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند (−1, 1) في اتجاه v = (−3, 2).

f(x, y) = 4x³y − 5x² − 2y² + 3xyP = (−1, 1)v = (−3, 2)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

للدالة f(x, y) = −x³ + 3x − y² نقطة حرجة عند (−1, 0). احسب المميِّز D = f_xxf_yy − f_xy² هناك.

f(x, y) = −x³ + 3x − y²P = (−1, 0)

D =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 30 min.

T₀ = 90 °CT_a = 23 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 30 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 3,75

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

كامل وعوّض الحدود

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

الإجابة

I = 3,75

2.التكاملات

الإجابة: A = 1,125

نقاط التقاطع

2x² = 3x → x = 0, x = 1,5

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [1,5x² − 0,6667x³]₀^1,5 = 1,125

الإجابة

A = 1,125

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: R = 4

المعاملات

c_k/c_k+1 = 4·((k + 1)/k)² → 4

نصف القطر

R = 4

الإجابة

R = 4

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₃(0.5) = 0,4167

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₃(x) = x − 0,5x² + 0,3333x³

عوّض

P₃(0,5) = 0,5 − 0,125 + 0,0416667 = 0,4167

الإجابة

P₃(0,5) = 0,4167

القيمة الدقيقة هي f(0,5) = 0,405465؛ ويتناقص الخطأ −0,0112016 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = −26,9

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = 12x²y − 10x + 3y → f_x(−1, 1) = 25

f_y = 4x³ − 4y + 3x → f_y(−1, 1) = −11

متّجه الوحدة

|v| = √((−3)² + 2²) = 3,606

u = (−0,8321, 0,5547)

الضرب القياسي

D_uf = 25·(−0,8321) + (−11)·0,5547 = −26,9

الإجابة

D_uf = −26,9

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D = −12

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

f_xx = 6, f_yy = −2, f_xy = 0

المميِّز

D = 6·(−2) − 0² = −12

→ نقطة سرج

الإجابة

D = −12

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 50,24 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 23 + 67·e^−0,03t

عوّض t

T(30) = 23 + 67·0,4066 = 50,24 °C

الإجابة

T = 50,24 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 6,539

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 5, r = −1,5 ± 4j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −1,5A + 4B = 0 → B = −1,875

الذروة

t = π/4 = 0,7854

y_max = 5·(1 + e^−1,5·π/4) = 6,539

الإجابة

y_max = 6,539

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2