التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(4x) من x = 0 إلى x = 3 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(4x)0 ≤ x ≤ 3

V =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 3x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 3xy = x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σ_k=1^∞ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏ.

Σ k!·(x − 2)ᵏ/kᵏx₀ = 2

R =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 للدالة f(x) = 1/(1 − x) لتقريب f(−0,4). أعطِ P₃(−0,4).

f(x) = 1/(1 − x)n = 3x = −0,4

P₃(−0.4) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = sin(−3x + 2y)، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (0,5, 2)، أي |∇f|.

f(x, y) = sin(−3x + 2y)P = (0,5, 2)

|∇f| =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = −x² + xy − y² + 3x − 6y − 2، وصنّفها، وأعطِ قيمة f_max للدالة f عند نهايتها العظمى المحلية.

f(x, y) = −x² + xy − y² + 3x − 6y − 2

f_max =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 88 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 53 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 34 °C؟

T₀ = 88 °CT_a = 19 °CT(14) = 53 °CT = 34 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + 2y = 4e^−3t مع y(0) = 1. أوجد y(1,5).

y′ + 2y = 4e^−3ty(0) = 1

y(1.5) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: V = 56,55

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀³ 4x dx

كامل

V = π·4·3²/2 = 56,55

الإجابة

V = 56,55

2.التكاملات

الإجابة: V = 101,8

نقاط التقاطع

3x = 1x² → x = 0, x = 3

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

الإجابة

V = 101,8

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: R = 2,718

المعاملات

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

نصف القطر

R = 2,718

الإجابة

R = 2,718

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₃(−0.4) = 0,696

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₃(x) = 1 + x + x² + x³

عوّض

P₃(−0,4) = 1 − 0,4 + 0,16 − 0,064 = 0,696

الإجابة

P₃(−0,4) = 0,696

القيمة الدقيقة هي f(−0,4) = 0,714286؛ ويتناقص الخطأ 0,0182857 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: |∇f| = 2,889

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

المشتقات الجزئية

f_x = −3 cos(−3x + 2y) → f_x(0,5, 2) = 2,403

f_y = 2 cos(−3x + 2y) → f_y(0,5, 2) = −1,602

طول التدرج

|∇f| = √(2,403² + (−1,602)²) = 2,889

الإجابة

|∇f| = 2,889

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: f_max = 7

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

النقاط الحرجة

حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا.

f_x = −2x + y + 3 = 0

f_y = x − 2y − 6 = 0

(0, −3)

اختبار المشتقة الثانية

(0, −3): f_xx = −2, f_yy = −2, f_xy = 1, D = 3 → نهاية عظمى محلية

القيمة عند النهاية القصوى

f(0, −3) = 7

الإجابة

f_max = 7

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 30,19 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(69/34)/14 = 0,05055 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(69/15)/0,05055 = 30,19 min

الإجابة

t = 30,19 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1.5) = 0,2045

عامل التكامل

μ = e^2t

(e^2ty)′ = 4e^−t

الحل العام

y = 4/(−1)·e^−3t + C·e^−2t = −4·e^−3t + C·e^−2t

الشرط الابتدائي

1 = −4 + C → C = 5

احسب

y(1,5) = −4·0,01111 + 5·0,04979 = 0,2045

الإجابة

y(1,5) = 0,2045

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2