التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 4 − x² والمحور x.

y = 4 − x²

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ (k + 1)/k²B: Σ (1 + 1/k)ᵏC: Σ k!/10ᵏD: Σ (2/3)ᵏ

1A: Σ (k + 1)/k²
2B: Σ (1 + 1/k)ᵏ
3C: Σ k!/10ᵏ
4D: Σ (2/3)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = sin x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 عند x = 0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₅|.

f(x) = sin xn = 5x = 0,5M = 1

|R₅| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)، جد أقصى معدل تغير لـ f عند النقطة (−1, 2)، أي |∇f|.

f(x, y) = 2 ln(x² + 4y²)P = (−1, 2)

|∇f| =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

لا يمكن حساب التكامل I = ∫₀¹ ∫_x¹ cos(y²) dy dx بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.

f = cos(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 1

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(1).

y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 1

y(1) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 3y′ + 11,25y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 3y′ + 11,25y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(1.5) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 0,6363

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

الإجابة

I = 0,6363

2.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

4 − x² = 0 → x = ±2

كامل

A = [4x − x³/3]₋₂² = 5,333 − (−5,333) = 10,67

الإجابة

A = 10,67

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ (2/3)ᵏ

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (k + 1)/k² → تسلك سلوك 1/k لـ k كبيرة: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.

B: Σ (1 + 1/k)ᵏ → تؤول الحدود إلى e لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.

C: Σ k!/10ᵏ → اختبار النسبة: L = lim (k + 1)/10 = ∞، تتباعد.

D: Σ (2/3)ᵏ → هندسية مع r = 2/3، |r| < 1: تتقارب.

الجواب

D: Σ (2/3)ᵏ

الإجابة

D: Σ (2/3)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₅| ≤ 1·0,5⁶/6! = 2,17 × 10⁻⁵

الإجابة

|R₅| = 2,17 × 10⁻⁵

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,5) − P₅(0,5)| = 1,545 × 10⁻⁶.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: |∇f| = 1,897

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

المشتقات الجزئية

f_x = 4x/(x² + 4y²) → f_x(−1, 2) = −0,2353

f_y = 16y/(x² + 4y²) → f_y(−1, 2) = 1,882

طول التدرج

|∇f| = √((−0,2353)² + 1,882²) = 1,897

الإجابة

|∇f| = 1,897

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,4207

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المنطقة

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 1

الترتيب المعكوس

I = ∫₀¹ ∫₀^y cos(y²) dx dy = ∫₀¹ y·cos(y²) dy

التعويض u = y²

I = [sin(y²)/2]₀¹ = 0,4207

الإجابة

I = 0,4207

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 0,2931

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 4)² = 0 → r = −4

الثوابت

A = y(0) = 3

y′(0) = B − 4A → B = 1 + 12 = 13

احسب

y(1) = (3 + 13·1)·e⁻⁴ = 0,2931

الإجابة

y(1) = 0,2931

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1.5) = −0,1475

الجذور المركّبة

r = −1,5 ± 3j

الثوابت

A = 2, B = 1,5·2/3 = 1

احسب

y(1,5) = e^−2,25(2·cos 4,5 + 1·sin 4,5) = −0,1475

الإجابة

y(1,5) = −0,1475

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2