التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد
∫ab f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين
∫ab (f − g) dx

الطريقة

  1. أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
  2. طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ ex و 1/x و sin و cos.
  3. استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
  4. للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب
R = lim |ck/ck+1|
كثيرة حدود تايلور
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

  1. حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
  2. للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
  3. للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
  4. لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
الفرق
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
قاعدة السلسلة
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

  1. للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
  2. في أسئلة التدرج احسب ∇f = (fx, fy) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
  3. للنهايات القصوى حلّ fx = 0 و fy = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = fxx·fyy − fxy².
  4. لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة
xy2y = x·cos x

احسب I = ∫₀2 x·cos x dx (قيمة x بالراديان).

∫₀2 x·cos x dx
I =
2.التكاملاتصعبة
xy−22

أوجد المساحة A للمنطقة بين القطع المكافئ y = 4 − x² والمحور x.

y = 4 − x²
A =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
AΣ 3ᵏ/k³k = 1 … ∞BΣ 1/(5k + 7)k = 1 … ∞CΣ (4/3)ᵏk = 1 … ∞DΣ k²/2ᵏk = 1 … ∞

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ 3ᵏ/k³B: Σ 1/(5k + 7)C: Σ (4/3)ᵏD: Σ k²/2ᵏ
  1. 1A: Σ 3ᵏ/k³
  2. 2B: Σ 1/(5k + 7)
  3. 3C: Σ (4/3)ᵏ
  4. 4D: Σ k²/2ᵏ
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = ln(1 + x) بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 عند x = 0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 3! = 6 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₃|.

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,5M = 6
|R₃| =
5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة
xy05−4−202vP

للدالة f(x, y) = −xy² − 4x² − 4y³ − xy، جد المشتقة الاتجاهية Duf عند (3, −1) في اتجاه v = (3, 2).

f(x, y) = −xy² − 4x² − 4y³ − xyP = (3, −1)v = (3, 2)
Duf =
6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة
xyy = 4xy = x²416

احسب I = ∬R y dA، حيث R المنطقة بين القطع المكافئ y = x² والمستقيم y = 4x.

y = x²y = 4xf = y
I =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
tyy(0) = 5y(1) = ?

حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -1. أوجد y(1).

y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 5y′(0) = -1
y(1) =
8.المعادلات التفاضليةصعبة
tyK = 10y(0,25) = ?

يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 162,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + y′ + 16,25y = 162,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 0,4024

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

الدالة الأصلية

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

النهايات

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

الإجابة

I = 0,4024
2.التكاملات

الإجابة: A = 10,67

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الأصفار

4 − x² = 0 → x = ±2

كامل

A = [4x − x³/3]−22 = 5,333 − (−5,333) = 10,67

الإجابة

A = 10,67
3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ k²/2ᵏ

التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.

اختبر كل متسلسلة

A: Σ 3ᵏ/k³ → اختبار النسبة: L = 3 > 1، تتباعد.
B: Σ 1/(5k + 7) → تسلك سلوك 1/(5k) لـ k كبيرة؛ وبالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية تتباعد.
C: Σ (4/3)ᵏ → هندسية مع r = 4/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
D: Σ k²/2ᵏ → اختبار النسبة: L = 1/2 < 1، تتقارب.

الجواب

D: Σ k²/2ᵏ

الإجابة

D: Σ k²/2ᵏ
4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₃| = 0,01563

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 3! = 6

حد لاغرانج

|R₃| ≤ 6·0,5⁴/4! = 0,01563

الإجابة

|R₃| = 0,01563

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,5) − P₃(0,5)| = 0,0112.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: Duf = −24,96

التدرج: ∇f = (fx, fy) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي Duf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

التدرج عند النقطة

fx = −y² − 8x − y → fx(3, −1) = −24
fy = −2xy − 12y² − x → fy(3, −1) = −9

متّجه الوحدة

|v| = √(3² + 2²) = 3,606
u = (0,8321, 0,5547)

الضرب القياسي

Duf = (−24)·0,8321 + (−9)·0,5547 = −24,96

الإجابة

Duf = −24,96
6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 68,27

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها fx = fy = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = fxxfyy − fxy²: D > 0 و fxx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و fxx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

نقاط التقاطع

x² = 4x → x = 0, x = 4

التكامل الداخلي

∫x²4x y dy = [y²/2] = (16x² − x⁴)/2

التكامل الخارجي

I = ∫04 (16x² − x⁴)/2 dx = 68,27

الإجابة

I = 68,27
7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 0,946

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 3)² = 0 → r = −3

الثوابت

A = y(0) = 5
y′(0) = B − 3A → B = -1 + 15 = 14

احسب

y(1) = (5 + 14·1)·e−3 = 0,946

الإجابة

y(1) = 0,946
8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.25) = 4,304

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

yss = 10, r = −0,5 ± 4j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −0,5A + 4B = 0 → B = −1,25

احسب

y(0,25) = 10·(1 − e−0,125(cos 1 + 0,125·sin 1)) = 4,304

الإجابة

y(0,25) = 4,304

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2