التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(x) من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 1

V =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = xy = x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ (3/4)ᵏB: Σ 1/(k² + 9)C: Σ k³/2ᵏD: Σ ln k / k

1A: Σ (3/4)ᵏ
2B: Σ 1/(k² + 9)
3C: Σ k³/2ᵏ
4D: Σ ln k / k

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

جد المعامل c₃ لـ (x − 4)³ في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = ln x حول a = 4.

f(x) = ln xa = 4k = 3

c₃ =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 3xy² − 5x² + 4y³ − 3xy، جد اتجاه أشد صعود عند (−1, −1) بوصفه الزاوية θ من المحور x الموجب، بالدرجات بين −180° و180°.

f(x, y) = 3xy² − 5x² + 4y³ − 3xyP = (−1, −1)

θ = °

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

احسب I = ∬_T (2x − y) dA على المثلث T المحدود بـ y = 0 و x = 3 و y = 0,5x.

f = 2x − y0 ≤ x ≤ 30 ≤ y ≤ 0,5x

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. بعد 24 min تكون درجة حرارتها 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 28 °CT(24) = 23 °C

k = min⁻¹

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 4x² لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(2).

y′ + y/x = 4x²y(1) = 1

y(2) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: V = 1,571

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ x dx

كامل

V = π·1·1²/2 = 1,571

الإجابة

V = 1,571

2.التكاملات

الإجابة: V = 0,4189

نقاط التقاطع

1x = 1x² → x = 0, x = 1

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀¹ ((1x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(1·1³/3 − 1·1⁵/5) = π·0,1333 = 0,4189

الإجابة

V = 0,4189

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ ln k / k

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (3/4)ᵏ → هندسية مع r = 3/4، |r| < 1: تتقارب.

B: Σ 1/(k² + 9) → أصغر من 1/k²، وهي متسلسلة p متقاربة: تتقارب بالمقارنة.

C: Σ k³/2ᵏ → اختبار النسبة: L = 1/2 < 1، تتقارب.

D: Σ ln k / k → أكبر من 1/k لـ k ≥ 3: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.

الجواب

D: Σ ln k / k

الإجابة

D: Σ ln k / k

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: c₃ = 0,005208

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المشتقة f⁽³⁾

f⁽³⁾(x) = 2/x³

المعامل

c₃ = f⁽³⁾(4)/3! = 2/(4³·6) = 0,005208

c₃ = 0,005208

الإجابة

c₃ = 0,005208

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: θ = 52,7 °

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

المشتقات الجزئية

f_x = 3y² − 10x − 3y → f_x(−1, −1) = 16

f_y = 6xy + 12y² − 3x → f_y(−1, −1) = 21

الاتجاه

θ = atan2(21, 16) = 52,7°

الإجابة

θ = 52,7°

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 7,875

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

النهايات

0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 0,5x

التكامل الداخلي

∫₀^0,5x (2x − y) dy = 2x·0,5x − (0,5x)²/2 = 0,875x²

التكامل الخارجي

I = 0,875·3³/3 = 7,875

الإجابة

I = 7,875

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,06173 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−24k = -5/-22

حلّ لإيجاد k

k = ln(-22/-5)/24 = 0,06173 min⁻¹

الإجابة

k = 0,06173 min⁻¹

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 8

عامل التكامل

μ = e^{∫1/x dx} = x¹

كامل

(x¹y)′ = 4x³ → x¹y = 4x⁴/4 + C

الشرط الابتدائي

1 = 4/4 + C → C = 0

احسب

y(2) = (4·2⁴/4 + 0)/2¹ = 8

الإجابة

y(2) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2