التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀³ e^2x dx.

f(x) = e^2x[0, 3]

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 4x والقطع المكافئ y = 3x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 4xy = 3x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

تتقارب متسلسلة القوى Σ_k=1^∞ k²·2ᵏ·(x + 2)ᵏ على مجال حول x₀ = −2. جد الطرف الأيمن x لذلك المجال.

Σ k²·2ᵏ·(x + 2)ᵏx₀ = −2

x =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 للدالة f(x) = sin x لتقريب f(2). أعطِ P₅(2).

f(x) = sin xn = 5x = 2

P₅(2) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 4x²y − 4x² − y³ + xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند P(3, 3) في الاتجاه نحو Q(4, 4).

f(x, y) = 4x²y − 4x² − y³ + xyP = (3, 3)Q = (4, 4)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

لا يمكن حساب التكامل I = ∫₀^1,5 ∫_y^1,5 sin(x²) dx dy بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.

f = sin(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 1,5

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 13 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 10 °C؟

T₀ = 4 °CT_a = 29 °CT(13) = 16 °CT = 10 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 200 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 15 kg من الملح؟

V = 200 Lm₀ = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 10 L/min

t = min

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 201,2

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = e^2x/2

عوّض الحدود

I = (e⁶ − 1)/2 = (403,4 − 1)/2 = 201,2

الإجابة

I = 201,2

2.التكاملات

الإجابة: V = 15,89

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

4x = 3x² → x = 0, x = 1,333

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀^1,333 ((4x)² − (3x²)²) dx

كامل

V = π(16·1,333³/3 − 9·1,333⁵/5) = π·5,057 = 15,89

الإجابة

V = 15,89

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: x = −1,5

المعاملات

c_k/c_k+1 = (1/2)·(k/(k + 1))² → 1/2

نصف القطر

R = 0,5

الفترة

−2,5 < x < −1,5

x = −1,5

الإجابة

x = −1,5

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₅(2) = 0,9333

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵

عوّض

P₅(2) = 2 − 1,333333 + 0,266667 = 0,9333

الإجابة

P₅(2) = 0,9333

القيمة الدقيقة هي f(2) = 0,909297؛ ويتناقص الخطأ −0,0240359 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = 44,55

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = 8xy − 8x + y → f_x(3, 3) = 51

f_y = 4x² − 3y² + x → f_y(3, 3) = 12

متّجه الوحدة

|v| = √(1² + 1²) = 1,414

u = (0,7071, 0,7071)

الضرب القياسي

D_uf = 51·0,7071 + 12·0,7071 = 44,55

الإجابة

D_uf = 44,55

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,8141

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المنطقة

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 1,5

الترتيب المعكوس

I = ∫₀^1,5 ∫₀^x sin(x²) dy dx = ∫₀^1,5 x·sin(x²) dx

التعويض u = x²

I = [−cos(x²)/2]₀^1,5 = 0,8141

الإجابة

I = 0,8141

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 5,456 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(-25/-13)/13 = 0,0503 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(-25/(−19))/0,0503 = 5,456 min

الإجابة

t = 5,456 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 7,133 min

النتيجة

m(t) = 50 + (−50)·e^−t/20

حلّ لإيجاد t

e^−t/20 = (50 − 15)/(50 − 0) = 0,7

t = 20·ln(1,429) = 7,133 min

الإجابة

t = 7,133 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2