التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(2x) من x = 0 إلى x = 1 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(2x)0 ≤ x ≤ 1

V =

2.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀^1,5 x²·eˣ dx.

∫₀^1,5 x²eˣ dx

I =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد المجموع S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 3)).

a_k = 1/(k(k + 3))

S =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = ln(1 + x) بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 عند x = 0,2. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 3! = 6 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₃|.

f(x) = ln(1 + x)n = 3x = 0,2M = 6

|R₃| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

يمكن كتابة المستوى المماس لـ z = 4x²y² + 4y² − 2xy عند النقطة (x, y) = (1, 3) بالشكل z = px + qy + c. جد c.

f(x, y) = 4x²y² + 4y² − 2xy(a, b) = (1, 3)

c =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

النقاط المعلَّمة هي النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy. انقر على نقطة السرج.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

1A (0, 0)
2B (−2, −2)
3C (2, 2)

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 5y′ + 4y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 4. أوجد y(0,5).

y″ + 5y′ + 4y = 0y(0) = 1y′(0) = 4

y(0.5) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 8y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 10y′(0) = 0

y(0.75) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: V = 3,142

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀¹ 2x dx

كامل

V = π·2·1²/2 = 3,142

الإجابة

V = 3,142

2.التكاملات

الإجابة: I = 3,602

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

4,482·(1,25) − 1·2 = 3,602

الإجابة

I = 3,602

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 0,6111

الكسور الجزئية

1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3))

إلغاء

S = (1/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 0,6111

الإجابة

S = 0,6111

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₃| = 0,0004

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 3! = 6

حد لاغرانج

|R₃| ≤ 6·0,2⁴/4! = 0,0004

الإجابة

|R₃| = 0,0004

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,2) − P₃(0,2)| = 0,0003451.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: c = −138

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

القيمة والميلان عند النقطة

f(1, 3) = 66

f_x = 8xy² − 2y → f_x(1, 3) = 66

f_y = 8x²y + 8y − 2x → f_y(1, 3) = 46

المستوى المماس

z = 66 + 66(x − 1) + 46(y − 3)

z = 66x + 46y − 138

الحد الثابت

c = −138

الإجابة

c = −138

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: A (0, 0)

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

النقاط الحرجة

حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا.

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

اختبار المشتقة الثانية

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → نقطة سرج

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → نهاية صغرى محلية

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → نهاية صغرى محلية

النقطة

A (0, 0): نقطة سرج

الإجابة

A (0, 0)

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 1,392

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 1)(r + 4) = 0 → r = −1, −4

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 1, −1A − 4B = 4

A = 2,667, B = −1,667

احسب

y(0,5) = 2,667·e^−0,5 + (−1,667)·e⁻² = 1,392

الإجابة

y(0,5) = 1,392

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.75) = 2,384

الجذور المركّبة

r = −2 ± 2j

الثوابت

A = 10, B = 2·10/2 = 10

احسب

y(0,75) = e^−1,5(10·cos 1,5 + 10·sin 1,5) = 2,384

الإجابة

y(0,75) = 2,384

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2