التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁴ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 4]

I =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = x² و y = 2x.

y = x²y = 2x

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ (4/3)ᵏB: Σ k!/3ᵏC: Σ ln k / kD: Σ (1/2)ᵏ

1A: Σ (4/3)ᵏ
2B: Σ k!/3ᵏ
3C: Σ ln k / k
4D: Σ (1/2)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 عند x = −0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₄|.

f(x) = cos xn = 4x = −0,5M = 1

|R₄| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

z = 2x²e^2y مع x = −2t − 1 و y = −2t² − 1. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 0.

z = 2x²e^2yx = −2t − 1y = −2t² − 1t = 0

dz/dt =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬_R (x² + y²) dA، حيث R هي النصف العلوي من القرص x² + y² ≤ 1 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ π

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 69 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 92 °CT_a = 22 °CT(5) = 69 °C

k = min⁻¹

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 41 kg من الملح؟

V = 200 Lm₀ = 5 kgc = 0,25 kg/Lr = 4 L/min

t = min

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 2,773

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = 2·ln x

عوّض الحدود

I = 2·(ln 4 − ln 1) = 2·ln 4 = 2,773

الإجابة

I = 2,773

2.التكاملات

الإجابة: A = 1,333

نقاط التقاطع

x² = 2x → x = 0, x = 2

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [x² − 0,3333x³]₀² = 1,333

الإجابة

A = 1,333

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ (1/2)ᵏ

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (4/3)ᵏ → هندسية مع r = 4/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.

B: Σ k!/3ᵏ → اختبار النسبة: L = lim (k + 1)/3 = ∞، تتباعد.

C: Σ ln k / k → أكبر من 1/k لـ k ≥ 3: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.

D: Σ (1/2)ᵏ → هندسية مع r = 1/2، |r| < 1: تتقارب.

الجواب

D: Σ (1/2)ᵏ

الإجابة

D: Σ (1/2)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₄| = 0,0002604

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₄| ≤ 1·0,5⁵/5! = 0,0002604

الإجابة

|R₄| = 0,0002604

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(−0,5) − P₄(−0,5)| = 2,16 × 10⁻⁵.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: dz/dt = 1,083

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

النقطة والمعدلات

x(0) = −1, y(0) = −1

dx/dt = −2, dy/dt = −4t = 0

المشتقات الجزئية

f_x = 4xe^2y = −0,5413

f_y = 4x²e^2y = 0,5413

قاعدة السلسلة

dz/dt = (−0,5413)·(−2) + 0,5413·0 = 1,083

الإجابة

dz/dt = 1,083

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,7854

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

الصيغة القطبية

I = ∫₀^π ∫₀¹ r²·r dr dθ

كامل

∫ r²·r dr = [r⁴/4]

I = 0,7854

الإجابة

I = 0,7854

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,07967 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−5k = 47/70

حلّ لإيجاد k

k = ln(70/47)/5 = 0,07967 min⁻¹

الإجابة

k = 0,07967 min⁻¹

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 80,47 min

النتيجة

m(t) = 50 + (−45)·e^−t/50

حلّ لإيجاد t

e^−t/50 = (50 − 41)/(50 − 5) = 0,2

t = 50·ln(5) = 80,47 min

الإجابة

t = 80,47 min

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2