التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁² x·ln x dx.

∫₁² x ln x dx

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 6x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 6xy = 2x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ (−1)ᵏ/kB: Σ 5/k²C: Σ 2ᵏ/k!D: Σ 1/√k

1A: Σ (−1)ᵏ/k
2B: Σ 5/k²
3C: Σ 2ᵏ/k!
4D: Σ 1/√k

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

جد المعامل c₄ لـ (x − 2)⁴ في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = e^−x حول a = 2.

f(x) = e^−xa = 2k = 4

c₄ =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

z = 3xe^y مع x = 2t و y = 2t² − 2. استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = 1.

z = 3xe^yx = 2ty = 2t² − 2t = 1

dz/dt =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

جد النقاط الحرجة للدالة f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy، وصنّفها، وأعطِ قيمة f_min للدالة f عند نهايتها الصغرى المحلية.

f(x, y) = x⁴ + y⁴ − 16xy

f_min =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,09 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 16 min.

T₀ = 4 °CT_a = 25 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 16 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 55 min؟

V = 200 Lm₀ = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 0,6363

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(2·ln 2 − 1) − (0 − 0,25) = 0,6363

الإجابة

I = 0,6363

2.التكاملات

الإجابة: V = 407,2

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

6x = 2x² → x = 0, x = 3

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀³ ((6x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(36·3³/3 − 4·3⁵/5) = π·129,6 = 407,2

الإجابة

V = 407,2

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ 1/√k

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (−1)ᵏ/k → متناوبة، و1/k يتناقص إلى 0: تتقارب (تقاربًا مشروطًا).

B: Σ 5/k² → متسلسلة p مع p = 2 > 1: تتقارب.

C: Σ 2ᵏ/k! → اختبار النسبة: L = lim 2/(k + 1) = 0 < 1، تتقارب.

D: Σ 1/√k → متسلسلة p مع p = 1/2 ≤ 1: تتباعد.

الجواب

D: Σ 1/√k

الإجابة

D: Σ 1/√k

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: c₄ = 0,005639

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المشتقة f⁽⁴⁾

f⁽⁴⁾(x) = (−1)⁴·e^−x

المعامل

c₄ = (−1)⁴·e⁻²/4! = 0,005639

c₄ = 0,005639

الإجابة

c₄ = 0,005639

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: dz/dt = 30

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

النقطة والمعدلات

x(1) = 2, y(1) = 0

dx/dt = 2, dy/dt = 4t = 4

المشتقات الجزئية

f_x = 3·e^y = 3

f_y = 3xe^y = 6

قاعدة السلسلة

dz/dt = 3·2 + 6·4 = 30

الإجابة

dz/dt = 30

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: f_min = −32

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

النقاط الحرجة

حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا.

f_x = 4x³ − 16y = 0

f_y = 4y³ − 16x = 0

(0, 0), (2, 2), (−2, −2)

اختبار المشتقة الثانية

(0, 0): f_xx = 0, f_yy = 0, f_xy = −16, D = −256 → نقطة سرج

(2, 2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → نهاية صغرى محلية

(−2, −2): f_xx = 48, f_yy = 48, f_xy = −16, D = 2048 → نهاية صغرى محلية

القيمة عند النهاية القصوى

f(2, 2) = −32

الإجابة

f_min = −32

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 20,02 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 25 + (−21)·e^−0,09t

عوّض t

T(16) = 25 + (−21)·0,2369 = 20,02 °C

الإجابة

T = 20,02 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: m = 8,736 kg

صُغ المعادلة

dm/dt = 5·0,05 − (5/200)·m = 0,25 − 0,025·m

الحل

عامل التكامل e^rt/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.

m(t) = 10 + (−5)·e^−t/40

عوّض t

m(55) = 10 + (−5)·0,2528 = 8,736 kg

الإجابة

m = 8,736 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2