التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₀¹ 2x·(x² + 1)³ dx.

f(x) = 2x·(x² + 1)³[0, 1]

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 3x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 3xy = x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ k²·4ᵏ/3ᵏ. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k²·4ᵏ/3ᵏ

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 عند x = 0,3. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₅|.

f(x) = cos xn = 5x = 0,3M = 1

|R₅| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

z = −2x³y + 5x² + 2y² مع x = 2t − 2 و y = −t². استخدم قاعدة السلسلة لإيجاد dz/dt عند t = −1.

z = −2x³y + 5x² + 2y²x = 2t − 2y = −t²t = −1

dz/dt =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

استخدم الإحداثيات القطبية لحساب I = ∬_R (x² + y²) dA، حيث R هي النصف العلوي من القرص x² + y² ≤ 4 (y ≥ 0).

f = x² + y²0 ≤ r ≤ 20 ≤ θ ≤ π

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 35 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 74 °C؟

T₀ = 90 °CT_a = 22 °CT(27) = 35 °CT = 74 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 3,75

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

التعويض

u = x² + 1, du = 2x dx

I = ∫₁² u³ du

كامل وعوّض الحدود

I = [u⁴/4]₁² = (16 − 1)/4 = 3,75

الإجابة

I = 3,75

2.التكاملات

الإجابة: V = 101,8

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

3x = 1x² → x = 0, x = 3

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀³ ((3x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(9·3³/3 − 1·3⁵/5) = π·32,4 = 101,8

الإجابة

V = 101,8

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 1,333

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·4/3 → 4/3

الخلاصة

L = 1,333 > 1

الإجابة

L = 1,333

L > 1، فالمتسلسلة تتباعد.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₅| = 1,012 × 10⁻⁶

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₅| ≤ 1·0,3⁶/6! = 1,012 × 10⁻⁶

الإجابة

|R₅| = 1,012 × 10⁻⁶

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,3) − P₅(0,3)| = 1,011 × 10⁻⁶.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: dz/dt = 360

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

النقطة والمعدلات

x(−1) = −4, y(−1) = −1

dx/dt = 2, dy/dt = −2t = 2

المشتقات الجزئية

f_x = −6x²y + 10x = 56

f_y = −2x³ + 4y = 124

قاعدة السلسلة

dz/dt = 56·2 + 124·2 = 360

الإجابة

dz/dt = 360

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 12,57

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

الصيغة القطبية

I = ∫₀^π ∫₀² r²·r dr dθ

كامل

∫ r²·r dr = [r⁴/4]

I = 12,57

الإجابة

I = 12,57

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 4,378 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(68/13)/27 = 0,06128 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(68/52)/0,06128 = 4,378 min

الإجابة

t = 4,378 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 2,19

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 2, r = −1,5 ± 2j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 2B = 0 → B = −1,5

الذروة

t = π/2 = 1,571

y_max = 2·(1 + e^−1,5·π/2) = 2,19

الإجابة

y_max = 2,19

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2