التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁵ x·ln x dx.

∫₁⁵ x ln x dx

I =

2.التكاملاتصعبة

احسب I = ∫₀² x²·eˣ dx.

∫₀² x²eˣ dx

I =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد المجموع S = Σ_k=1^∞ 6/(k(k + 1)).

a_k = 6/(k(k + 1))

S =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 للدالة f(x) = 1/(1 − 2x) لتقريب f(0,2). أعطِ P₂(0,2).

f(x) = 1/(1 − 2x)n = 2x = 0,2

P₂(0.2) =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 4x²y³ − x³ − y² − 4xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند (−2, −2) في اتجاه v = (−1, −2).

f(x, y) = 4x²y³ − x³ − y² − 4xyP = (−2, −2)v = (−1, −2)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

لا يمكن حساب التكامل I = ∫₀² ∫_x² sin(y²) dy dx بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.

f = sin(y²)0 ≤ x ≤ y ≤ 2

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 95 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 8 min تكون درجة حرارتها 60 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 85 °C؟

T₀ = 95 °CT_a = 22 °CT(8) = 60 °CT = 85 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 70 min؟

V = 1000 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min

m = kg

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 14,12

التكامل بالتجزئة: ∫u·dv = u·v − ∫v·du، وهو ناتج عن قاعدة الضرب. اختر u العامل الذي يصبح أبسط عند اشتقاقه (قوة لـ x، أو ln x)، واختر dv العامل الذي تستطيع تكامله (eˣ أو sin x أو cos x، أو x حين تكون u = ln x). وفي التكامل المحدد قيّم u·v عند الحدّين: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. العامل x² يحتاج إلى جولتين.

اختر u وdv

u = ln x, du = dx/x; dv = x dx, v = x²/2

الدالة الأصلية

∫x ln x dx = (x²/2)ln x − ∫(x/2) dx = (x²/2)ln x − x²/4

النهايات

(12,5·ln 5 − 6,25) − (0 − 0,25) = 14,12

الإجابة

I = 14,12

2.التكاملات

الإجابة: I = 12,78

الجولة الأولى

∫x²eˣ dx = x²eˣ − ∫2x eˣ dx

الجولة الثانية

∫2x eˣ dx = 2x eˣ − 2eˣ

∫x²eˣ dx = eˣ(x² − 2x + 2)

النهايات

7,389·(2) − 1·2 = 12,78

الإجابة

I = 12,78

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 6

الكسور الجزئية

6/(k(k + 1)) = 6·(1/k − 1/(k + 1))

إلغاء

S = 6·1 = 6

الإجابة

S = 6

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₂(0.2) = 1,56

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₂(x) = 1 + 2x + 4x²

عوّض

P₂(0,2) = 1 + 0,4 + 0,16 = 1,56

الإجابة

P₂(0,2) = 1,56

القيمة الدقيقة هي f(0,2) = 1,666667؛ ويتناقص الخطأ 0,106667 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = −237,9

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = 8xy³ − 3x² − 4y → f_x(−2, −2) = 124

f_y = 12x²y² − 2y − 4x → f_y(−2, −2) = 204

متّجه الوحدة

|v| = √((−1)² + (−2)²) = 2,236

u = (−0,4472, −0,8944)

الضرب القياسي

D_uf = 124·(−0,4472) + 204·(−0,8944) = −237,9

الإجابة

D_uf = −237,9

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,8268

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المنطقة

0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤ 2

الترتيب المعكوس

I = ∫₀² ∫₀^y sin(y²) dx dy = ∫₀² y·sin(y²) dy

التعويض u = y²

I = [−cos(y²)/2]₀² = 0,8268

الإجابة

I = 0,8268

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 1,805 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(73/38)/8 = 0,08161 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(73/63)/0,08161 = 1,805 min

الإجابة

t = 1,805 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: m = 29,53 kg

صُغ المعادلة

dm/dt = 5·0,1 − (5/1000)·m = 0,5 − 0,005·m

الحل

عامل التكامل e^rt/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.

m(t) = 100 + (−100)·e^−t/200

عوّض t

m(70) = 100 + (−100)·0,7047 = 29,53 kg

الإجابة

m = 29,53 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2