التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = √(x) من x = 0 إلى x = 4 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مجسّم مكافئ).

y = √(x)0 ≤ x ≤ 4

V =

2.التكاملاتصعبة

أوجد المساحة A للمنطقة المحصورة بين y = 0,5x² و y = x.

y = 0,5x²y = x

A =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ k/5ᵏB: Σ k!/10ᵏC: Σ (1/3)ᵏD: Σ (−1)ᵏ/√k

1A: Σ k/5ᵏ
2B: Σ k!/10ᵏ
3C: Σ (1/3)ᵏ
4D: Σ (−1)ᵏ/√k

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = sin x عند x = 1,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,0005.

f(x) = sin xx = 1,5M = 1ε = 0,0005

n =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = 5x³y³ + 5x³ + 5y²، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند (2, −2) في اتجاه v = (−1, −2).

f(x, y) = 5x³y³ + 5x³ + 5y²P = (2, −2)v = (−1, −2)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

لا يمكن حساب التكامل I = ∫₀^0,8 ∫_y^0,8 cos(x²) dx dy بهذا الترتيب. اعكس ترتيب التكامل ثم احسبه.

f = cos(x²)0 ≤ y ≤ x ≤ 0,8

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. بعد 17 min تكون درجة حرارتها 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 5 °CT_a = 23 °CT(17) = 18 °C

k = min⁻¹

8.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 13 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0

y(1) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: V = 25,13

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀⁴ x dx

كامل

V = π·1·4²/2 = 25,13

الإجابة

V = 25,13

2.التكاملات

الإجابة: A = 0,6667

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

نقاط التقاطع

0,5x² = x → x = 0, x = 2

كامل العلوي ناقص السفلي

A = [0,5x² − 0,1667x³]₀² = 0,6667

الإجابة

A = 0,6667

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: B: Σ k!/10ᵏ

اختبر كل متسلسلة

A: Σ k/5ᵏ → اختبار النسبة: L = 1/5 < 1، تتقارب.

B: Σ k!/10ᵏ → اختبار النسبة: L = lim (k + 1)/10 = ∞، تتباعد.

C: Σ (1/3)ᵏ → هندسية مع r = 1/3، |r| < 1: تتقارب.

D: Σ (−1)ᵏ/√k → متناوبة، و1/√k يتناقص إلى 0: تتقارب (تقاربًا مشروطًا).

الجواب

B: Σ k!/10ᵏ

الإجابة

B: Σ k!/10ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: n = 8

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

الحدود لقيم n متزايدة

n = 7: 0,0006356 ≥ 0,0005

n = 8: 0,0001059 < 0,0005

أصغر درجة

n = 8

الإجابة

n = 8

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = −223,6

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = 15x²y³ + 15x² → f_x(2, −2) = −420

f_y = 15x³y² + 10y → f_y(2, −2) = 460

متّجه الوحدة

|v| = √((−1)² + (−2)²) = 2,236

u = (−0,4472, −0,8944)

الضرب القياسي

D_uf = (−420)·(−0,4472) + 460·(−0,8944) = −223,6

الإجابة

D_uf = −223,6

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,2986

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المنطقة

0 ≤ y ≤ x, 0 ≤ x ≤ 0,8

الترتيب المعكوس

I = ∫₀^0,8 ∫₀^x cos(x²) dy dx = ∫₀^0,8 x·cos(x²) dx

التعويض u = x²

I = [sin(x²)/2]₀^0,8 = 0,2986

الإجابة

I = 0,2986

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,07535 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−17k = -5/-18

حلّ لإيجاد k

k = ln(-18/-5)/17 = 0,07535 min⁻¹

الإجابة

k = 0,07535 min⁻¹

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 1,121

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 1, r = −2 ± 3j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −2A + 3B = 0 → B = −0,6667

احسب

y(1) = 1·(1 − e⁻²(cos 3 + 0,6667·sin 3)) = 1,121

الإجابة

y(1) = 1,121

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2