التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

تُدوَّر المنطقة تحت y = x من x = 0 إلى x = 4 حول المحور x. أوجد حجم الجسم V (مخروط).

y = x0 ≤ x ≤ 4

V =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 4x والقطع المكافئ y = x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 4xy = x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ k²·5ᵏ/2ᵏ. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k²·5ᵏ/2ᵏ

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

جد المعامل c₂ لـ (x − 3)² في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = 1/x حول a = 3.

f(x) = 1/xa = 3k = 2

c₂ =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

يمكن كتابة المستوى المماس لـ z = −y·e^3xy عند النقطة (x, y) = (0,5, 0,5) بالشكل z = px + qy + c. جد c.

f(x, y) = −y·e^3xy(a, b) = (0,5, 0,5)

c =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

جد المساحة I = ∬_R 1 dA للمنطقة R بين القطع المكافئ y = x² والمستقيم y = x.

y = x²y = xf = 1

I =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -4. أوجد y(2).

y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 5y′(0) = -4

y(2) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 3y′ + 6,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 3y′ + 6,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0

y(0.25) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: V = 67,02

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

طريقة الأقراص

V = π∫₀⁴ 1x² dx

كامل

V = π·1·4³/3 = 67,02

الإجابة

V = 67,02

تحقق: للمخروط الذي نصف قطره 4 وارتفاعه 4 الحجم (1/3)πr²h = 67,02.

2.التكاملات

الإجابة: V = 428,9

نقاط التقاطع

4x = 1x² → x = 0, x = 4

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀⁴ ((4x)² − (1x²)²) dx

كامل

V = π(16·4³/3 − 1·4⁵/5) = π·136,5 = 428,9

الإجابة

V = 428,9

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 2,5

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·5/2 → 5/2

الخلاصة

L = 2,5 > 1

الإجابة

L = 2,5

L > 1، فالمتسلسلة تتباعد.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: c₂ = 0,03704

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المشتقة f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = 2/x³

المعامل

c₂ = 2/(3³·2) = 0,03704

c₂ = 0,03704

الإجابة

c₂ = 0,03704

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: c = 1,588

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

القيمة والميلان عند النقطة

f(0,5, 0,5) = −1,059

f_x = −3y²e^3xy → f_x(0,5, 0,5) = −1,588

f_y = −e^3xy(1 + 3xy) → f_y(0,5, 0,5) = −3,705

المستوى المماس

z = −1,059 − 1,588(x − 0,5) − 3,705(y − 0,5)

z = −1,588x − 3,705y + 1,588

الحد الثابت

c = 1,588

الإجابة

c = 1,588

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: I = 0,1667

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

نقاط التقاطع

x² = x → x = 0, x = 1

التكامل الداخلي

∫_x²^x 1 dy = x − x²

التكامل الخارجي

I = ∫₀¹ (x − x²) dx = 0,1667

الإجابة

I = 0,1667

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 0,02578

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 3)(r + 5) = 0 → r = −3, −5

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 5, −3A − 5B = -4

A = 10,5, B = −5,5

احسب

y(2) = 10,5·e⁻⁶ + (−5,5)·e⁻¹⁰ = 0,02578

الإجابة

y(2) = 0,02578

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.25) = 4,251

الجذور المركّبة

r = −1,5 ± 2j

الثوابت

A = 5, B = 1,5·5/2 = 3,75

احسب

y(0,25) = e^−0,375(5·cos 0,5 + 3,75·sin 0,5) = 4,251

الإجابة

y(0,25) = 4,251

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2