التفاضل والتكامل 2: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التكاملات

قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
التكامل المحدد: ∫_a^b f dx = F(b) − F(a)
تكاملات شائعة: ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
المساحة بين منحنيين: ∫_a^b (f − g) dx

الطريقة

أعد كتابة الدالة المكاملة كمجموع حدود بسيطة حيثما أمكن.
طبّق قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1)، والتكاملات القياسية لـ e^x و 1/x و sin و cos.
استخدم التعويض عندما ترى دالة ومشتقتها معًا.
للتكامل المحدود احسب F(b) − F(a).

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

المشتقات الجزئية: f_x = ∂f/∂x (y constant), f_xy = f_yx
الفرق: ∇f = (f_x, f_y), largest slope |∇f|
المشتقة الاتجاهية: D_uf = ∇f·u, u = v/|v|
المستوى المماس: z = f(a, b) + f_x(x − a) + f_y(y − b)
قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt
اختبار المشتقة الثانية: D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0, f_xx > 0 minimum; D > 0, f_xx < 0 maximum; D < 0 saddle
التكامل الثنائي: ∬_R f dA = ∫_a^b∫_g(x)^h(x) f dy dx
الإحداثيات القطبية: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

الطريقة

للمشتقة الجزئية عامل المتغير الآخر كثابت واستخدم قواعد المتغير الواحد.
في أسئلة التدرج احسب ∇f = (f_x, f_y) عند النقطة؛ واستخدم |∇f| لأشد ميل و ∇f·u مع متجه وحدة u للمشتقة الاتجاهية.
للنهايات القصوى حلّ f_x = 0 و f_y = 0 معًا، ثم صنّف كل نقطة بـ D = f_xx·f_yy − f_xy².
لتكامل ثنائي ارسم المنطقة، واختر الترتيب (أو الإحداثيات القطبية للأقراص) بحيث تكون الحدود الداخلية هي المنحنيات المحيطة، وكامل الداخل أولًا.

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.التكاملاتمتوسطة

احسب I = ∫₁⁵ 2/x dx.

f(x) = 2/x[1, 5]

I =

2.التكاملاتصعبة

تُدوَّر المنطقة بين المستقيم y = 4x والقطع المكافئ y = 2x² حول المحور x. أوجد حجم الجسم V.

y = 4xy = 2x²

V =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد المجموع S = Σ_k=1^∞ 2/(k(k + 3)).

a_k = 2/(k(k + 3))

S =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = sin x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 عند x = 0,8. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₅|.

f(x) = sin xn = 5x = 0,8M = 1

|R₅| =

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتمتوسطة

للدالة f(x, y) = −4x³y − x³ − 5y³ − 4xy، جد المشتقة الاتجاهية D_uf عند (2, 1) في اتجاه v = (3, 2).

f(x, y) = −4x³y − x³ − 5y³ − 4xyP = (2, 1)v = (3, 2)

D_uf =

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيراتصعبة

للدالة f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4y نقطة حرجة عند (2, 2). احسب المميِّز D = f_xxf_yy − f_xy² هناك.

f(x, y) = x³ − 12x + y² − 4yP = (2, 2)

D =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 28 min.

T₀ = 5 °CT_a = 28 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 28 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + y = 9e^−0,5t مع y(0) = 5. أوجد y(1).

y′ + y = 9e^−0,5ty(0) = 5

y(1) =

3المحاليل

1.التكاملات

الإجابة: I = 3,219

التكاملات المحددة: ∫ₐᵇ f(x) dx هو المساحة ذات الإشارة بين المنحنى والمحور x من a إلى b. أوجد دالة أصلية F (حيث F′ = f) واحسب F(b) − F(a). قاعدة القوة: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). المساحة بين منحنيين هي ∫(العلوي − السفلي) dx.

الدالة الأصلية

F(x) = 2·ln x

عوّض الحدود

I = 2·(ln 5 − ln 1) = 2·ln 5 = 3,219

الإجابة

I = 3,219

2.التكاملات

الإجابة: V = 53,62

أحجام الدوران: تدوير المنطقة تحت y = f(x) من x = a إلى x = b حول المحور x يولّد جسمًا مقطعه عند x قرص نصف قطره f(x). وجمع الأقراص يعطي V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. وحين تقع المنطقة بين منحنى خارجي R(x) ومنحنى داخلي r(x)، تكون كل شريحة حلقة (واشر): V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. ربّع نصفي القطرين قبل أن تطرحهما.

نقاط التقاطع

4x = 2x² → x = 0, x = 2

طريقة الحلقات (الواشر)

V = π∫₀² ((4x)² − (2x²)²) dx

كامل

V = π(16·2³/3 − 4·2⁵/5) = π·17,07 = 53,62

الإجابة

V = 53,62

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 1,222

الكسور الجزئية

2/(k(k + 3)) = (2/3)·(1/k − 1/(k + 3))

إلغاء

S = (2/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 1,222

الإجابة

S = 1,222

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₅| = 0,0003641

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₅| ≤ 1·0,8⁶/6! = 0,0003641

الإجابة

|R₅| = 0,0003641

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,8) − P₅(0,8)| = 4,124 × 10⁻⁵.

5.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D_uf = −83,76

التدرج: ∇f = (f_x, f_y) يشير إلى اتجاه أشد صعود، و|∇f| أكبر معدل تغير. المشتقة الاتجاهية في الاتجاه v هي D_uf = ∇f·u مع متجه الوحدة u = v/|v|. المستوى المماس عند (a, b) هو z = f(a, b) + f_x(a, b)(x − a) + f_y(a, b)(y − b)؛ ويعطي التقريب الخطي لـ f قرب تلك النقطة. قاعدة السلسلة: dz/dt = f_x·dx/dt + f_y·dy/dt.

التدرج عند النقطة

f_x = −12x²y − 3x² − 4y → f_x(2, 1) = −64

f_y = −4x³ − 15y² − 4x → f_y(2, 1) = −55

متّجه الوحدة

|v| = √(3² + 2²) = 3,606

u = (0,8321, 0,5547)

الضرب القياسي

D_uf = (−64)·0,8321 + (−55)·0,5547 = −83,76

الإجابة

D_uf = −83,76

6.التفاضل والتكامل لعدة متغيرات

الإجابة: D = 24

النقاط الحرجة والتكاملات الثنائية: النقطة الحرجة فيها f_x = f_y = 0. اختبار المشتقة الثانية مع D = f_xxf_yy − f_xy²: D > 0 و f_xx > 0 نهاية صغرى محلية، و D > 0 و f_xx < 0 نهاية عظمى محلية، و D < 0 نقطة سرج، و D = 0 لا يحسم شيئًا. لتكامل ثنائي على منطقة عامة، اجعل حدود التكامل الداخلي المنحنيات التي تحد المنطقة؛ وللأقراص والقطاعات استخدم الإحداثيات القطبية، x = r cos θ و y = r sin θ و dA = r dr dθ (لا تنسَ العامل r).

المشتقات الثانية

f_xx = 12, f_yy = 2, f_xy = 0

المميِّز

D = 12·2 − 0² = 24

→ نهاية صغرى محلية

الإجابة

D = 24

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 25,55 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 28 + (−23)·e^−0,08t

عوّض t

T(28) = 28 + (−23)·0,1065 = 25,55 °C

الإجابة

T = 25,55 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 6,135

عامل التكامل

μ = e^t

(e^ty)′ = 9e^0,5t

الحل العام

y = 9/0,5·e^−0,5t + C·e^−t = 18·e^−0,5t + C·e^−t

الشرط الابتدائي

5 = 18 + C → C = −13

احسب

y(1) = 18·0,6065 + (−13)·0,3679 = 6,135

الإجابة

y(1) = 6,135

ExamProblems · examproblems.com/courses/calculus-2