التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

يُتوقَّع أن يدرّ عقار إيجارًا صافيًا قدره €6 000 في السنة القادمة. ويُتوقَّع أن ينمو الإيجار بنسبة 1% سنويًا إلى الأبد. العائد المطلوب 6% سنويًا. أوجد قيمة العقار PV اليوم.

C₁ = €6 000g = 1%r = 6%

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تريد €75 000 بعد 17 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 3% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €75 0003% / 12N = 204

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €50 000 اليوم. تولّد €6 500 في نهاية كل سنة لمدة 8 سنوات ويمكن بيعها بعدها بـ €12 500. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €50 000CF = €6 500S = €12 500n = 8r = 6%

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €40 000 ويعود بـ €22 500, €16 500, €9 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €42 000 ويعود بـ €11 000, €20 000, €21 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −40 000, 22 500, 16 500, 9 500B: −42 000, 11 000, 20 000, 21 500

r* = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 4,5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 2,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 4,5%YTM = 2,5%n = 7

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 7% يستحق بعد 5 سنوات ويُباع بسعر €940. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 5P = €940

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 ودين قيمته €3 000 000. WACC لديها 6,19%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 4,5%، ومعدّل الضريبة 25%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €3 000 000D = €3 000 000WACC = 6,19%r_d = 4,5%T = 25%

r_e = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها السوقية €6 000 000 وتكلفة حقوق ملكية 13%. يتكوّن دينها من 5 000 سندًا (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%، 7 سنوات حتى الاستحقاق) يُتداول كلٌّ منها بسعر €944. معدّل الضريبة 28%. أوجد WACC، مستخدمًا العائد حتى الاستحقاق للسندات كتكلفة الدين قبل الضريبة.

E = €6 000 000r_e = 13%السندات: 5 000 × €944الكوبون = 5%n = 7T = 28%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 12, 36, 44, 26, 25, 32, 40.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 40.

μ = 70σ = 20x = 40

z =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,15, 0,1, 0,25, 0,3, 0,2

σ =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 0,5X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,2, 0,3, 0,1Y = 0,5X + 4

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8690. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8690

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 75% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة75%

x = درجة

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 8 مفردة متوسطها 42 وانحرافها المعياري s = 2,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 8x̄ = 42s = 2,595%t(7) = 2,365

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 26E = 595%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −6,83 والانحراف المعياري للفروق 7,2. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = −6,83s_d = 7,2

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 200 مقابل H₁: μ > 200 عند α = 0,05 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 6. في الواقع المتوسط 202,8. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 200μ = 202,8σ = 6n = 36α = 0,05

β = %

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 127Σx² = 220Σy² = 3869Σxy = 922

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 49). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4, 49)

e =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 120000 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الدفعات الدائمة النامية

PV = C₁/(r − g) = 6 000/(0,06 − 0,01) = 6 000/0,05 = €120 000,00

الإجابة

PV = €120 000,00

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 282,3 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·17 = 204

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0,0025/(1,664 − 1) = €282,28

الإجابة

A = €282,28

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −1794 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية للتدفقات النقدية السنوية

6 500·6,21 = 40 363,66

القيمة الحالية لقيمة الخردة

12 500/1,594 = 7 842,65

NPV

NPV = −50 000 + 40 363,66 + 7 842,65 = −€1 793,69

الإجابة

NPV = −€1 793,69

4.NPV و IRR

الإجابة: r* = 7,458 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −42 000 − (−40 000) = −2 000

ΔCF₁ = 11 000 − 22 500 = −11 500

ΔCF₂ = 20 000 − 16 500 = 3 500

ΔCF₃ = 21 500 − 9 500 = 12 000

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(7%) = 104,95

NPV_Δ(8%) = −121,48

r* = 7,458%

الإجابة

r* = 7,458%

تحقّق: عند 7,458% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €2 883,56.

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1128 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €22,50, i = 0,0125, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€22,50·(1 − 0,8404)/0,0125 = €287,34

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,8404 = €840,37

السعر

P = €1 127,71

الإجابة

P = €1 127,71

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 8,524 %

معادلة العائد

€940 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

الحل العددي

P(8%) = €960,07, P(9%) = €922,21

YTM = 8,524%

الإجابة

YTM = 8,524%

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 9,005 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €6 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

جزء الدين من WACC

0,5·4,5%·(1 − 0,25) = 1,688%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (6,19% − 1,688%)/0,5 = 9,005%

الإجابة

r_e = 9,005%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,179 %

تكلفة الدين (YTM)

944 = 50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 6,003%

القيم السوقية

D = 5 000·€944 = €4 720 000

V = €10 720 000, E/V = 0,5597, D/V = 0,4403

WACC

WACC = 0,5597·13% + 0,4403·6,003%·(1 − 0,28) = 9,179%

الإجابة

WACC = 9,179%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,78

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 215/7 = 30,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−18,71)² + 5,286² + 13,29² + (−4,714)² + (−5,714)² + 1,286² + 9,286² = 697,4

الانحراف المعياري

s = √(697,4/6) = 10,78

الإجابة

s = 10,78

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (40 − 70)/20 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

11.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,308

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,15 + 2·0,1 + 3·0,25 + 4·0,3 + 5·0,2 = 3,3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,1 + 9·0,25 + 16·0,3 + 25·0,2 = 12,6

التباين

Var(X) = 12,6 − 3,3² = 1,71

σ = √1,71 = 1,308

الإجابة

σ = 1,308

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 0,65

تشتت X

μ = 2,9, Var(X) = 1,69, σ_X = 1,3

التغيير الخطي

σ_Y = |0,5|·1,3 = 0,65

الإجابة

σ_Y = 0,65

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 0,5·2,9 + 4 = 5,45.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,51

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8690)/2 = 0,9345

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9345 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,51

الإجابة

z = 1,51

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 58,3 درجة

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 0,67·10 = 58,3 درجة

الإجابة

x = 58,3 درجة

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 39,91

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 2,365

هامش الخطأ

E = 2,365·2,5/√8 = 2,09

الفترة

42 ± 2,09 → [39,91, 44,09]

الإجابة

الحد الأدنى = 39,91

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 104

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·26/5)² = 103,9

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 104

الإجابة

n = 104

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 7,2/√10 = 2,277

إحصائية الاختبار

t = −6,83/2,277 = −3

الإجابة

t = −3

مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 12,4 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 6/√36 = 1

x̄_c = 200 + 1,645·1 = 201,6

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (201,6 − 202,8)/1 = −1,155

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z > −1,155) = 87,6%

β = 100% − 87,6% = 12,4%

الإجابة

β = 12,4%

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9975

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 922 − 30·127/5 = 160

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 3869 − 127²/5 = 643,2

معامل الارتباط

r = 160/√(40·643,2) = 0,9975

الإجابة

r = 0,9975

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −1,65

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 271/5 = 54,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 142

خط الانحدار

b = 142/40 = 3,55

a = 54,2 − 3,55·5 = 36,45

ŷ = 36,45 + 3,55·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 36,45 + 3,55·4 = 50,65

البُواقي

e = 49 − 50,65 = −1,65

الإجابة

e = −1,65

تقع النقطة تحت الخط.

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income