التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €50 000 بعد 10 سنوات. يدفع حساب 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €50 0003,6% / 4n = 10

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €20 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 3 سنوات. معدل الفائدة 5,4% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €20 0005,4% / 12N = 36

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €60 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €28 000, €16 000, €14 000. تكلفة رأس المال 10%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 10%CF₀ = −60 000CF₁ = 28 000CF₂ = 16 000CF₃ = 14 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €20 000 ويعود بـ €13 000, €14 000, €11 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 14 000CF₃ = 11 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 2% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 4 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 9% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 2%YTM = 9%n = 4

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 6% يستحق بعد 8 سنوات ويُباع بسعر €1 135. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 6%n = 8P = €1 135

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €12 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 12%، وتكلفة الأسهم الممتازة 7,5%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4,5%. معدّل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €6 000 000r_e = 12%r_p = 7,5%r_d = 4,5%T = 21%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €15,00؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €9 000 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €1,80 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 5% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €30 000 000 وتكلفته قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 25,8%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 2 000 000P₀ = €15,00حقوق الملكية الدفترية = €9 000 000D₀ = €1,80g = 5%D = €30 000 000r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 14, 48, 53, 37, 40, 13, 37.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 20؟

μ = 60σ = 20x = 20

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,35, 0,2, 0,25, 0,2

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,1, 0,25, 0,3Y = 2X + 10

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0146. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0146

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 85% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm85%

x = cm

15.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 100 هاتفًا، المتوسط 77 h، الانحراف المعياري المعلوم 11 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 71,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 77 hσ₁ = 11 hn₂ = 80x̄₂ = 71,5 hσ₂ = 14 h90%

الحد الأعلى = h

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 24. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 24E = 590%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 120,9 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 120,9s = 10n = 64

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 3 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 8. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 8E = 399%

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 1,5.

n = 5x = 1,5

ŷ =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 34940 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,036000000000000004/4 = 0,009

N = 4·10 = 40

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1,431 = €34 940,04

الإجابة

PV = €34 940,04

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 603 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·3 = 36

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,8508

A = 20 000·0,0045/(1 − 0,8508) = €603,02

الإجابة

A = €603,02

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = −10804 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,1)¹ = 28 000/1,1 = 25 454,55

CF₂/(1 + 0,1)² = 16 000/1,21 = 13 223,14

CF₃/(1 + 0,1)³ = 14 000/1,331 = 10 518,41

اجمعها

NPV = €−10 803,91

الإجابة

NPV = €−10 803,91

NPV سالبة، لذا يكسب المشروع أقل من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 42,47 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(40%) = 619,53

NPV(45%) = −603,55

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 40 + 5·619,53/(619,53 − (−603,55)) = 42,53%

بالضبط: NPV(42,47%) = 0 → IRR = 42,47%

الإجابة

IRR = 42,47%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 769,1 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €10,00, i = 0,045, N = 8

القيمة الحالية للكوبونات

€10,00·(1 − 0,7032)/0,045 = €65,96

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,7032 = €703,19

السعر

P = €769,14

الإجابة

P = €769,14

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,995 %

معادلة العائد

€1 135 = €60·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

الحل العددي

P(3%) = €1 210,59, P(4%) = €1 134,65

YTM = 3,995%

الإجابة

YTM = 3,995%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,055 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €19 500 000

E/V = 0,6154, P_s/V = 0,07692, D/V = 0,3077

WACC

WACC = 0,6154·12% + 0,07692·7,5% + 0,3077·4,5%·(1 − 0,21) = 9,055%

الإجابة

WACC = 9,055%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 10,65 %

تكلفة حقوق الملكية

D₁ = 1,8·1,05 = €1,89

r_e = 1,89/15 + 0,05 = 17,6%

القيم السوقية

E = 2 000 000·€15,00 = €30 000 000

V = €60 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·17,6% + 0,5·5%·(1 − 0,258) = 10,65%

الإجابة

WACC = 10,65%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,54

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 242/7 = 34,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−20,57)² + 13,43² + 18,43² + 2,429² + 5,429² + (−21,57)² + 2,429² = 1450

الانحراف المعياري

s = √(1450/6) = 15,54

الإجابة

s = 15,54

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−2) = 0,02275

P = 1 − 0,02275 = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 5,24

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,35 + 2·0,2 + 4·0,25 + 6·0,2 = 2,6

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,35 + 4·0,2 + 16·0,25 + 36·0,2 = 12

التباين

Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24

الإجابة

Var(X) = 5,24

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,262

تشتت X

μ = 2,2, Var(X) = 2,66, σ_X = 1,631

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,631 = 3,262

الإجابة

σ_Y = 3,262

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·2,2 + 10 = 14,4.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,18

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0146 = 0,9854

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9854 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,18

الإجابة

z = 2,18

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 185,3 cm

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,85

z من الجدول

z ≈ 1,04

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 1,04·7 = 185,3 cm

الإجابة

x = 185,3 cm

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 8,647 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 77 − 71,5 = 5,5

الخطأ المعياري

SE = √(11²/100 + 14²/80) = 1,913

هامش الخطأ

E = 1,645·1,913 = 3,147

الفترة

5,5 ± 3,147 → [2,353, 8,647]

الإجابة

الحد الأعلى = 8,647 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 63

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·24/5)² = 62,35

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 63

الإجابة

n = 63

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,72

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

إحصائية الاختبار

t = (120,9 − 120)/1,25 = 0,72

الإجابة

t = 0,72

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 48

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·8/3)² = 47,19

قرّب إلى الأعلى

n = 48

الإجابة

n = 48

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9542

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 128/6 = 21,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 81,33

معامل الارتباط

r = −36/√(17,5·81,33) = −0,9542

الإجابة

r = −0,9542

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 23,45

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 94/5 = 18,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

خط الانحدار

b = −31/10 = −3,1

a = 18,8 − (−3,1)·3 = 28,1

ŷ = 28,1 − 3,1·x

التنبؤ

ŷ = 28,1 + (−3,1)·1,5 = 23,45

الإجابة

ŷ = 23,45

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income