التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €5 000 بعد 3 سنوات. يدفع حساب 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €5 0005% / 4n = 3

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تريد €25 000 بعد 19 سنوات. تدّخر المبلغ نفسه في نهاية كل شهر في حساب يدفع 2,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. أوجد الإيداع الشهري A.

FV = €25 0002,4% / 12N = 228

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €20 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 3: €10 000, €8 000, €9 000. تكلفة رأس المال 7,000000000000001%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −20 000CF₁ = 10 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €40 000 ويعود بـ €28 500, €18 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 2. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −40 000CF₁ = 28 500CF₂ = 18 500

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 8% ويستحق بعد 4 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 5% إلى 6,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 8%n = 4y₁ = 5%y₂ = 6,5%

ΔP = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 4% يستحق بعد 8 سنوات ويُباع بسعر €1 110. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4%n = 8P = €1 110

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

سهم معامل بيتا له 0,8 وعائده المطلوب 6,3%. المعدّل الخالي من المخاطر 1,5%. ما عائد السوق المتوقّع r_m الذي يقتضيه CAPM؟

β = 0,8r_e = 6,3%r_f = 1,5%

r_m = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €40,00 للسهم الواحد و40 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 3,5% ومعدل الضريبة 21%. معامل بيتا للسهم 0,6، والمعدل الخالي من المخاطر 4%، وعائد السوق 9%. أوجد WACC.

β = 0,6r_f = 4%r_m = 9%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 36, 24, 19, 28, 12, 19.

n = 6

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 60.

μ = 100σ = 20x = 60

z =

11.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 5 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 5

P =

12.الاحتمالصعبة

يُختبر 10 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,25. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 10p = 0,25

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. ما النسبة التي تقع بين 248,75 و 252,75 g؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 250σ = 5x₁ = 248,75x₂ = 252,75

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,015 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 20 مفردة متوسطها 30,5 وانحرافها المعياري s = 6,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 20x̄ = 30,5s = 6,590%t(19) = 1,729

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 15 قطعة، متوسط المحصول 32,5 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 24 kg، الانحراف المعياري 1 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 32,5s₁ = 4,5n₂ = 6x̄₂ = 24s₂ = 195%t(19) = 2,093

E = kg

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 78,87 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,87s = 12n = 81

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,05 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 29. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,05القوة = 90%δ = 4σ = 29z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 101Σx² = 364Σy² = 2007Σxy = 852

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 22؟

n = 5ŷ = 22

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 4308 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·3 = 12

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1,161 = €4 307,54

الإجابة

PV = €4 307,54

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 86,65 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,024/12 = 0,002

N = 12·19 = 228

الإيداع

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 25 000·0,002/(1,577 − 1) = €86,65

الإجابة

A = €86,65

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 3680 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 10 000/1,07 = 9 345,79

CF₂/(1 + 0,07)² = 8 000/1,145 = 6 987,51

CF₃/(1 + 0,07)³ = 9 000/1,225 = 7 346,68

اجمعها

NPV = €3 679,99

الإجابة

NPV = €3 679,99

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 12,4 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(10%) = 1 198,35

NPV(15%) = −1 228,73

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 10 + 5·1 198,35/(1 198,35 − (−1 228,73)) = 12,47%

بالضبط: NPV(12,4%) = 0 → IRR = 12,4%

الإجابة

IRR = 12,4%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = −54,99 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €80,00, i = 0,05, N = 4

€80,00·(1 − 0,8227)/0,05 + €1 000·0,8227 = €283,68 + €822,70 = €1 106,38

السعر عند العائد الجديد

C = €80,00, i = 0,065, N = 4

€80,00·(1 − 0,7773)/0,065 + €1 000·0,7773 = €274,06 + €777,32 = €1 051,39

التغيّر

ΔP = 1 051,39 − 1 106,38 = −€54,99

الإجابة

ΔP = −€54,99

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 2,468 %

معادلة العائد

€1 110 = €40·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

الحل العددي

P(2%) = €1 146,51, P(3%) = €1 070,20

YTM = 2,468%

الإجابة

YTM = 2,468%

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_m = 7,5 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

علاوة مخاطر السوق

r_m − r_f = (6,3% − 1,5%)/0,8 = 6%

عائد السوق

r_m = 1,5% + 6% = 7,5%

الإجابة

r_m = 7,5%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 5,626 %

القيم السوقية

E = 2 000 000·€40,00 = €80 000 000

D = 40 000·€960 = €38 400 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 4% + 0,6·5% = 7%

الأوزان

V = €118 400 000, E/V = 0,6757, D/V = 0,3243

WACC

WACC = 0,6757·7% + 0,3243·3,5%·(1 − 0,21) = 5,626%

الإجابة

WACC = 5,626%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 8,343

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 138/6 = 23

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 13² + 1² + (−4)² + 5² + (−11)² + (−4)² = 348

الانحراف المعياري

s = √(348/5) = 8,343

الإجابة

s = 8,343

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (60 − 100)/20 = −2

الإجابة

z = −2

11.الاحتمال

الإجابة: P = 0,5981

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

الإجابة

P = 0,5981

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,244

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,75¹⁰ = 0,05631

P(X = 1) = 10·0,25·0,75⁹ = 0,1877

اجمعها

P = 0,05631 + 0,1877 = 0,244

الإجابة

P = 0,244

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3075

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (248,75 − 250)/5 = −0,25

z₂ = (252,75 − 250)/5 = 0,55

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,55) − Φ(−0,25) = 0,7088 − 0,4013 = 0,3075

الإجابة

P = 0,3075

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8264

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02121 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02121 = −0,94

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,94) = 0,8264

الإجابة

P = 0,8264

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 27,99

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 19, t = 1,729

هامش الخطأ

E = 1,729·6,5/√20 = 2,513

الفترة

30,5 ± 2,513 → [27,99, 33,01]

الإجابة

الحد الأدنى = 27,99

16.فترات الثقة

الإجابة: E = 3,94 kg

فترة لفرق: التقدير ± القيمة الحرجة × الخطأ المعياري. لمتوسطين مستقلين مع σ معلومة: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) و z. مع تباينين متساويين مجهولين: s_p المجمَّع و t بدرجات حرية n₁ + n₂ − 2. للبيانات المزدوجة، اعمل على الفروق: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (14·4,5² + 5·1²)/19 = 15,18

s_p = 3,897

هامش الخطأ

E = 2,093·3,897·√(1/15 + 1/6) = 3,94

الإجابة

E = 3,94 kg

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,903

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√81 = 12/9 = 1,333

إحصائية الاختبار

t = (78,87 − 75)/1,333 = 2,903

الإجابة

t = 2,903

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 451

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((1,645 + 1,282)·29/4)² = 450,3

قرّب إلى الأعلى

n = 451

الإجابة

n = 451

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9894

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 852 − 42·101/6 = 145

S_xx = 364 − 42²/6 = 70

S_yy = 2007 − 101²/6 = 306,8

معامل الارتباط

r = 145/√(70·306,8) = 0,9894

الإجابة

r = 0,9894

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 1,588

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 98/5 = 19,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −17

خط الانحدار

b = −17/10 = −1,7

a = 19,6 − (−1,7)·3 = 24,7

ŷ = 24,7 − 1,7·x

حلّ لإيجاد x

x = (22 − 24,7)/(−1,7) = 1,588

الإجابة

x = 1,588

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income