التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 5% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 10 سنوات.

PV = €12 0005% / 4n = 10

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

تدّخر €200 في نهاية كل شهر لمدة 9 سنوات. يدفع الحساب 3,6% سنويًا تُركَّب شهريًا. كم ستدّخر في النهاية؟ أوجد FV.

A = €2003,6% / 12N = 108

FV = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €28 000, €33 000, €27 000, €34 000. تكلفة رأس المال 5%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 5%CF₀ = −75 000CF₁ = 28 000CF₂ = 33 000CF₃ = 27 000CF₄ = 34 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €50 000 ويعود بـ €23 500, €22 500, €28 000, €16 500 في نهاية السنوات من 1 إلى 4. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 12%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 12%CF₀ = −50 000CF₁ = 23 500CF₂ = 22 500CF₃ = 28 000CF₄ = 16 500

MIRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

تشتري سندًا متبقيًا على استحقاقه 11 سنوات (القيمة الاسمية €1 000، الكوبون السنوي 5%) عندما يكون عائده حتى الاستحقاق 7%. بعد سنة، مباشرةً بعد استلام الكوبون الأول، تبيعه عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 7,5%. أوجد عائد فترة الاحتفاظ HPR بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 5%n = 11y₀ = 7%y₁ = 7,5%

HPR = %

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 3% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. يُباع بسعر €1 032. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 3% (2×)n = 7P = €1 032

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €5 000 000 وديون قيمتها €5 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 4%، ومعدل الضريبة 21%. أوجد WACC.

E = €5 000 000D = €5 000 000r_e = 13%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 2 000 000 من الأسهم بسعر €23,50 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €1 050. تكلفة الدين قبل الضريبة 5% ومعدل الضريبة 28%. معامل بيتا للسهم 1,3، والمعدل الخالي من المخاطر 1%، وعائد السوق 7%. أوجد WACC.

β = 1,3r_f = 1%r_m = 7%r_d = 5%T = 28%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 17, 10, 30, 35, 31, 43, 32.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 185.

μ = 170σ = 15x = 185

z =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,15, 0,35, 0,2, 0,15

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 5. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,25, 0,3, 0,25Y = 2X + 5

σ_Y =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 12 منها 475,8 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12> 475,8 g

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 90% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm90%

x = cm

15.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 12 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 9,9 وانحرافها المعياري 3,2. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.

n = 12d̄ = 9,9s_d = 3,290%t(11) = 1,796

الحد الأعلى = mmHg

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 27. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟

σ = 27E = 190%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 97,12 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,12s = 8n = 25

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 51,4. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 51,4σ = 5n = 3695%

L =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 6؟

n = 5ŷ = 6

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 19723 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,05/4 = 0,0125

N = m·n = 4·10 = 40

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,0125)⁴⁰ = 12 000·1,644 = €19 723,43

الإجابة

FV = €19 723,43

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 25465 €

المعدل الشهري وعدد الإيداعات

i = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = 12·9 = 108

القيمة المستقبلية للإيداعات

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 200·(1,382 − 1)/0,003 = €25 465,12

الإجابة

FV = €25 465,12

دفعتَ بنفسك €21 600؛ والباقي فائدة.

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 32894 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,05)¹ = 28 000/1,05 = 26 666,67

CF₂/(1 + 0,05)² = 33 000/1,103 = 29 931,97

CF₃/(1 + 0,05)³ = 27 000/1,158 = 23 323,62

CF₄/(1 + 0,05)⁴ = 34 000/1,216 = 27 971,88

اجمعها

NPV = €32 894,14

الإجابة

NPV = €32 894,14

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 21,54 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

23 500·1,12³ = 33 015,81

22 500·1,12² = 28 224,00

28 000·1,12¹ = 31 360,00

16 500·1,12⁰ = 16 500,00

TV = 109 099,81

MIRR

MIRR = (109 099,81/50 000)^1/4 − 1 = 21,54%

الإجابة

MIRR = 21,54%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: HPR = 3,338 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

سعر الشراء

C = €50,00, i = 0,07, N = 11

€50,00·(1 − 0,4751)/0,07 + €1 000·0,4751 = €374,93 + €475,09 = €850,03

سعر البيع

C = €50,00, i = 0,075, N = 10

€50,00·(1 − 0,4852)/0,075 + €1 000·0,4852 = €343,20 + €485,19 = €828,40

عائد فترة الاحتفاظ

HPR = (50 + 828,40 − 850,03)/850,03 = 3,338%

الإجابة

HPR = 3,338%

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 2,499 %

لكل فترة

C = €15,00, N = 14

الحل العددي

i = 1,249% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·1,249% = 2,499%

الإجابة

YTM = 2,499%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,08 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €10 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·13% + 0,5·4%·(1 − 0,21) = 8,08%

الإجابة

WACC = 8,08%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,85 %

القيم السوقية

E = 2 000 000·€23,50 = €47 000 000

D = 10 000·€1 050 = €10 500 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 1% + 1,3·6% = 8,8%

الأوزان

V = €57 500 000, E/V = 0,8174, D/V = 0,1826

WACC

WACC = 0,8174·8,8% + 0,1826·5%·(1 − 0,28) = 7,85%

الإجابة

WACC = 7,85%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 11,16

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 198/7 = 28,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−11,29)² + (−18,29)² + 1,714² + 6,714² + 2,714² + 14,71² + 3,714² = 747,4

الانحراف المعياري

s = √(747,4/6) = 11,16

الإجابة

s = 11,16

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (185 − 170)/15 = 1

الإجابة

z = 1

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,547

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,15 + 1·0,15 + 2·0,35 + 3·0,2 + 4·0,15 = 2,05

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,15 + 1·0,15 + 4·0,35 + 9·0,2 + 16·0,15 = 5,75

التباين

Var(X) = 5,75 − 2,05² = 1,547

الإجابة

Var(X) = 1,547

12.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 21,35

تشتت X

μ = 26, Var(X) = 114, σ_X = 10,68

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·10,68 = 21,35

الإجابة

σ_Y = 21,35

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·26 + 5 = 57.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8438

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (475,8 − 480)/4,157 = −1,01

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,01) = 0,8438

الإجابة

P = 0,8438

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 187 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,9

z من الجدول

z ≈ 1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 1,28·7 = 187 cm

الإجابة

x = 187 cm

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 11,56 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 11, t = 1,796

هامش الخطأ

E = 1,796·3,2/√12 = 1,659

الفترة

9,9 ± 1,659 → [8,241, 11,56]

الإجابة

الحد الأعلى = 11,56 mmHg

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 1973

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·27/1)² = 1973

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1973

الإجابة

n = 1973

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

إحصائية الاختبار

t = (97,12 − 100)/1,6 = −1,8

الإجابة

t = −1,8

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 49,77

هامش الخطأ

E = 1,96·5/√36 = 1,633

حد الفترة

L = 51,4 − 1,633 = 49,77

الإجابة

L = 49,77

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9919

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 394/6 = 65,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 298

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1289

معامل الارتباط

r = 298/√(70·1289) = 0,9919

الإجابة

r = 0,9919

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,161

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 52/5 = 10,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 62

خط الانحدار

b = 62/40 = 1,55

a = 10,4 − 1,55·6 = 1,1

ŷ = 1,1 + 1,55·x

حلّ لإيجاد x

x = (6 − 1,1)/1,55 = 3,161

الإجابة

x = 3,161

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income