التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €12 000 بمعدل اسمي 3,6% سنويًا، تُركَّب الفائدة شهريًا. أوجد قيمة FV الاستثمار بعد 5 سنوات.

PV = €12 0003,6% / 12n = 5

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض رهن عقاري قدره €250 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 25 سنوات بمعدّل 6% سنويًا، تُركَّب شهريًا. كم يبقى مستحقًا مباشرةً بعد الدفعة في نهاية السنة 3؟ أوجد الرصيد المتبقي B.

P = €250 0006% / 12N = 300k = 36

B = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €30 000 اليوم، وتعمل 6 سنوات وتكلّف €4 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 8%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €30 000M = €4 000n = 6r = 8%

EAC = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €6 500, €6 500, €4 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 500CF₂ = 6 500CF₃ = 4 000

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يستحق بعد 6 سنوات ويدفع كوبونات سنوية. يُباع بسعر €1 028 عندما يكون العائد حتى الاستحقاق 2,5%. أوجد معدّل الكوبون c بالنسبة المئوية.

F = €1 000n = 6P = €1 028YTM = 2,5%

c = %

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 8% ويستحق بعد 5 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5%. أوجد مدة ماكولي D بالسنوات.

F = €1 000الكوبون = 8%n = 5YTM = 5%

D = سنوات

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €3 000 000 وديون قيمتها €2 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%، ومعدل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €3 000 000D = €2 000 000r_e = 10%r_d = 5%T = 20%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لنشاط شركة معامل بيتا غير ممدود بالرافعة (للأصول) قدره 0,8. تخطّط لنسبة دين إلى حقوق ملكية قدرها 0,25. معدّل الضريبة 25,8%، والمعدّل الخالي من المخاطر 2,5%، وعلاوة مخاطر السوق 7%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e عند الهيكل الرأسمالي الجديد.

β_U = 0,8D/E = 0,25T = 25,8%r_f = 2,5%r_m − r_f = 7%

r_e = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 60, 22, 22, 48, 43.

n = 6

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 10. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 70.

μ = 60σ = 10x = 70

z =

11.الاحتمالمتوسطة

يُرمى حجر نرد منتظم 6 مرات. ما احتمال P الحصول على ستة واحدة على الأقل؟

n = 6

P =

12.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 1 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,4k = 1

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0681. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0681

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,04 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,04 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 38 وانحرافها المعياري s = 12. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 11x̄ = 38s = 1290%t(10) = 1,812

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 17. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 2,5 على الأكثر؟

σ = 17E = 2,595%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 102,4 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 102,4s = 8n = 49

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50 عند α = 0,05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 15. في الواقع المتوسط 52,4. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 52,4σ = 15n = 100α = 0,05

1 − β = %

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (11, 21). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(11, 21)

e =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 14363 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·5 = 60

القيمة المستقبلية

FV = 12 000·(1 + 0,003)⁶⁰ = 12 000·1,197 = €14 362,74

الإجابة

FV = €14 362,74

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: B = 235809 €

الدفعة الشهرية

i = 0,005, N = 300

A = 250 000·0,005/(1 − (1 + 0,005)⁻³⁰⁰) = €1 610,75

القيمة الحالية للدفعات المتبقية

ما يبقى مستحقًا يجب أن تسدّده الدفعات المتبقية بالضبط.

N − k = 300 − 36 = 264

B = 1611·(1 − (1 + 0,005)⁻²⁶⁴)/0,005 = €235 809,36

الإجابة

B = €235 809,36

3.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 10489 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,08⁻⁶)/0,08 = 4,623

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

30 000/4,623 = 6 489,46

EAC

EAC = 6 489,46 + 4 000 = €10 489,46

الإجابة

EAC = €10 489,46

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 35,06 %

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(35%) = 7,11

NPV(40%) = −583,09

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 35 + 5·7,11/(7,11 − (−583,09)) = 35,06%

بالضبط: NPV(35,06%) = 0 → IRR = 35,06%

الإجابة

IRR = 35,06%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: c = 3,008 %

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

1000·(1 + 0,025)⁻⁶ = €862,30

الكوبون

C = (1028 − 862,30)/5,508 = €30,08

معدل الكوبون

c = 30,08/1000 = 3,008%

الإجابة

c = 3,008%

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: D = 4,357 سنوات

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

t = 1: 80/1,05 = 76,19, t·PV = 76,19

t = 2: 80/1,103 = 72,56, t·PV = 145,12

t = 3: 80/1,158 = 69,11, t·PV = 207,32

t = 4: 80/1,216 = 65,82, t·PV = 263,26

t = 5: 1080/1,276 = 846,21, t·PV = 4 231,04

المدة

P = 1 129,88

D = 4 922,94/1 129,88 = 4,357

الإجابة

D = 4,357 سنوات

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,6 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €5 000 000, E/V = 0,6, D/V = 0,4

WACC

WACC = 0,6·10% + 0,4·5%·(1 − 0,2) = 7,6%

الإجابة

WACC = 7,6%

8.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 9,139 %

معامل بيتا الممدود بالرافعة (هامادا): الدين يجعل حقوق الملكية أكثر مخاطرة. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E)، حيث β_U معامل بيتا للنشاط دون دين. لنقل معامل بيتا إلى هيكل رأسمالي آخر، أزل أثر الرافعة أولًا ثم أعد تطبيقها عند D/E الجديدة.

معامل بيتا الممدود بالرافعة

β_L = 0,8·(1 + 0,742·0,25) = 0,9484

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 2,5% + 0,9484·7% = 9,139%

الإجابة

r_e = 9,139%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,08

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 229/6 = 38,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−4,167)² + 21,83² + (−16,17)² + (−16,17)² + 9,833² + 4,833² = 1137

الانحراف المعياري

s = √(1137/5) = 15,08

الإجابة

s = 15,08

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 1

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (70 − 60)/10 = 1

الإجابة

z = 1

11.الاحتمال

الإجابة: P = 0,6651

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

الحدث المتمم

P(لا ستة) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

الإجابة

P = 0,6651

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,04031

صيغة ذي الحدين

P(X = 1) = 10·0,4¹·0,6⁹ = 10·0,4·0,01008 = 0,04031

الإجابة

P = 0,04031

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,49

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0681 = 0,9319

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9319 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,49

الإجابة

z = 1,49

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9452

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,04)/0,025 = −1,6

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,6) = 0,9452

الإجابة

P = 0,9452

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 31,44

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 1,812

هامش الخطأ

E = 1,812·12/√11 = 6,556

الفترة

38 ± 6,556 → [31,44, 44,56]

الإجابة

الحد الأدنى = 31,44

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 178

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·17/2,5)² = 177,6

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 178

الإجابة

n = 178

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√49 = 8/7 = 1,143

إحصائية الاختبار

t = (102,4 − 100)/1,143 = 2,1

الإجابة

t = 2,1

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 48,21 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 50 + 1,645·1,5 = 52,47

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (52,47 − 52,4)/1,5 = 0,045

القدرة

القوة = P(Z > 0,045) = 48,21%

1 − β = 48,21%

الإجابة

1 − β = 48,21%

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9546

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 185/5 = 37

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 382

معامل الارتباط

r = 118/√(40·382) = 0,9546

الإجابة

r = 0,9546

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 1,843

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 81/6 = 13,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 99

خط الانحدار

b = 99/70 = 1,414

a = 13,5 − 1,414·7 = 3,6

ŷ = 3,6 + 1,414·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 3,6 + 1,414·11 = 19,16

البُواقي

e = 21 − 19,16 = 1,843

الإجابة

e = 1,843

تقع النقطة فوق الخط.

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income