التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تستثمر €1 000 بمعدّل 6% سنويًا بتركيب مستمر. أوجد القيمة FV بعد 18 سنوات.

PV = €1 000r = 6%t = 18

FV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €200 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 15 سنوات بمعدّل 4,8% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €200 0004,8% / 12N = 180

I = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة آلة €60 000 اليوم، وتعمل 5 سنوات وتكلّف €1 000 سنويًا للتشغيل (تُدفع في نهاية كل سنة). تكلفة رأس المال 6%. أوجد تكلفتها السنوية المكافئة EAC.

C₀ = €60 000M = €1 000n = 5r = 6%

EAC = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €4 000, €4 500, €3 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. يمكن إعادة استثمار التدفقات النقدية بتكلفة رأس المال 6%. أوجد معدّل العائد الداخلي المعدَّل MIRR بالنسبة المئوية.

r = 6%CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 4 500CF₃ = 3 000

MIRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 2% ويستحق بعد 10 سنوات. يتغيّر عائده حتى الاستحقاق من 9% إلى 10,5%. بكم ΔP يتغيّر سعر السند؟

F = €1 000الكوبون = 2%n = 10y₁ = 9%y₂ = 10,5%

ΔP = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا قدره 4,5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 3 سنوات. يُباع بسعر €1 028. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM كمعدّل سنوي (ضعف العائد نصف السنوي)، بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 4,5% (2×)n = 3P = €1 028

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €10 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €500 000، ودين قيمته €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 13%، وتكلفة الأسهم الممتازة 8%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 3%. معدّل الضريبة 20%. أوجد WACC.

E = €10 000 000P_s = €500 000D = €6 000 000r_e = 13%r_p = 8%r_d = 3%T = 20%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 من الأسهم بسعر €41,00 للسهم الواحد و10 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €980. تكلفة الدين قبل الضريبة 4,5% ومعدل الضريبة 25,8%. معامل بيتا للسهم 1,2، والمعدل الخالي من المخاطر 1%، وعائد السوق 8%. أوجد WACC.

β = 1,2r_f = 1%r_m = 8%r_d = 4,5%T = 25,8%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 20, 60, 26, 27.

n = 5

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 76؟

μ = 70σ = 10x = 76

P =

11.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 4 أشخاص من مجموعة من 14؟ الترتيب غير مهم.

n = 14k = 4

N =

12.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,2 و€200 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€20: p = 0,2€200: p = 0,05

E(G) = €

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1170. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,1170

z =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 70% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm70%

x = cm

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 18,5 وانحرافها المعياري s = 2. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 11x̄ = 18,5s = 299%t(10) = 3,169

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 37. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 37E = 1,590%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 101,2 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 101,2s = 5n = 25

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 15. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 15E = 0,599%

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 51؟

n = 6ŷ = 51

x =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: FV = 2945 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

الأُس

r·t = 0,06·18 = 1,08

e^1,08 = 2,945

القيمة المستقبلية

FV = 1 000·2,945 = €2 944,68

الإجابة

FV = €2 944,68

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 80949 €

الدفعة الشهرية

i = 0,004, N = 180

A = 200 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁸⁰) = €1 560,83

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 180·1561 − 200 000 = €80 949,20

الإجابة

I = €80 949,20

3.NPV و IRR

الإجابة: EAC = 15244 €

التكلفة السنوية المكافئة: وزّع القيمة الحالية لكل التكاليف على العمر كمبلغ سنوي متساوٍ (سلسلة دفعات): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). وهي تتيح مقارنة آلات بأعمار مختلفة.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − 1,06⁻⁵)/0,06 = 4,212

سعر الشراء المحوَّل إلى قيمة سنوية

60 000/4,212 = 14 243,78

EAC

EAC = 14 243,78 + 1 000 = €15 243,78

الإجابة

EAC = €15 243,78

4.NPV و IRR

الإجابة: MIRR = 7,041 %

معدّل العائد الداخلي المعدَّل: ركّب كل تدفق داخل إلى الأمام حتى نهاية المشروع بمعدّل إعادة الاستثمار (عادةً تكلفة رأس المال) للحصول على القيمة النهائية TV. MIRR هو المعدّل الذي يحوّل الاستثمار الأولي إلى TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

القيمة النهائية للتدفقات الداخلة

4 000·1,06² = 4 494,40

4 500·1,06¹ = 4 770,00

3 000·1,06⁰ = 3 000,00

TV = 12 264,40

MIRR

MIRR = (12 264,40/10 000)^1/3 − 1 = 7,041%

الإجابة

MIRR = 7,041%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: ΔP = −62,02 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

السعر عند العائد القديم

C = €20,00, i = 0,09, N = 10

€20,00·(1 − 0,4224)/0,09 + €1 000·0,4224 = €128,35 + €422,41 = €550,76

السعر عند العائد الجديد

C = €20,00, i = 0,105, N = 10

€20,00·(1 − 0,3684)/0,105 + €1 000·0,3684 = €120,30 + €368,45 = €488,74

التغيّر

ΔP = 488,74 − 550,76 = −€62,02

الإجابة

ΔP = −€62,02

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 3,509 %

لكل فترة

C = €22,50, N = 6

الحل العددي

i = 1,754% لكل نصف سنة

YTM

YTM = 2·1,754% = 3,509%

الإجابة

YTM = 3,509%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,994 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 10 000 000 + 500 000 + 6 000 000 = €16 500 000

E/V = 0,6061, P_s/V = 0,0303, D/V = 0,3636

WACC

WACC = 0,6061·13% + 0,0303·8% + 0,3636·3%·(1 − 0,2) = 8,994%

الإجابة

WACC = 8,994%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 9,123 %

القيم السوقية

E = 5 000 000·€41,00 = €205 000 000

D = 10 000·€980 = €9 800 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 1% + 1,2·7% = 9,4%

الأوزان

V = €214 800 000, E/V = 0,9544, D/V = 0,04562

WACC

WACC = 0,9544·9,4% + 0,04562·4,5%·(1 − 0,258) = 9,123%

الإجابة

WACC = 9,123%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,68

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 167/5 = 33,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0,6² + (−13,4)² + 26,6² + (−7,4)² + (−6,4)² = 983,2

الانحراف المعياري

s = √(983,2/4) = 15,68

الإجابة

s = 15,68

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,2743

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

الإجابة

P = 0,2743

11.الاحتمال

الإجابة: N = 1001

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

الإجابة

N = 1001

12.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 4 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 10 (p = 0,2), 190 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)

القيمة المتوقعة

E(G) = 10·0,2 + 190·0,05 − 10·0,75 = 4 €

الإجابة

E(G) = 4 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,19

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,1170 = 0,8830

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,8830 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,19

الإجابة

z = 1,19

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 181,6 cm

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,7

z من الجدول

z ≈ 0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 + 0,52·7 = 181,6 cm

الإجابة

x = 181,6 cm

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 16,59

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 3,169

هامش الخطأ

E = 3,169·2/√11 = 1,911

الفترة

18,5 ± 1,911 → [16,59, 20,41]

الإجابة

الحد الأدنى = 16,59

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 1647

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·37/1,5)² = 1646

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 1647

الإجابة

n = 1647

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

إحصائية الاختبار

t = (101,2 − 100)/1 = 1,2

الإجابة

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 5973

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·15/0,5)² = 5972

قرّب إلى الأعلى

n = 5973

الإجابة

n = 5973

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9895

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 324/6 = 54

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 280

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1144

معامل الارتباط

r = 280/√(70·1144) = 0,9895

الإجابة

r = 0,9895

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 10,99

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 251/6 = 41,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 161

خط الانحدار

b = 161/70 = 2,3

a = 41,83 − 2,3·7 = 25,73

ŷ = 25,73 + 2,3·x

حلّ لإيجاد x

x = (51 − 25,73)/2,3 = 10,99

الإجابة

x = 10,99

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income