التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تحتاج إلى €10 000 بعد 3 سنوات. يدفع حساب 4% سنويًا، تُركَّب الفائدة ربع سنوي. كم يجب أن تودع اليوم؟ أوجد القيمة الحالية PV.

FV = €10 0004% / 4n = 3

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €25 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات. معدل الفائدة 7,2% سنويًا يُركَّب شهريًا. أوجد الدفعة الشهرية A.

P = €25 0007,2% / 12N = 60

A = €

3.NPV و IRRمتوسطة

تبلغ تكلفة مشروع €400 000 اليوم. يولّد €43 000 في نهاية السنة الأولى، ثم ينمو التدفق النقدي بنسبة 3% سنويًا إلى الأبد. تكلفة رأس المال 12%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

C₀ = €400 000CF₁ = €43 000g = 3%r = 12%

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة مشروع €10 000 ويعود بـ €4 000, €5 500, €7 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. أوجد معدل العائد الداخلي IRR بالنسبة المئوية.

CF₀ = −10 000CF₁ = 4 000CF₂ = 5 500CF₃ = 7 000

IRR = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 6% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 11 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 4% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 6%YTM = 4%n = 11

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

يُتداول سند بسعر €1 060 بعائد حتى الاستحقاق 7% (تركيب سنوي) ومدة ماكولي 4,1 سنوات. استخدم المدة المعدَّلة لتقدير السعر الجديد P إذا ارتفع العائد بمقدار 75 نقطة أساس.

P₀ = €1 060y = 7%D = 4,1Δy = +75 bp

P = €

7.CAPM و WACCمتوسطة

لدى شركة حقوق ملكية قيمتها €4 000 000 ودين قيمته €5 000 000. WACC لديها 7,39%، وتكلفة دينها قبل الضريبة 5%، ومعدّل الضريبة 25,8%. أوجد تكلفة حقوق الملكية r_e.

E = €4 000 000D = €5 000 000WACC = 7,39%r_d = 5%T = 25,8%

r_e = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 5 000 000 سهمًا تُتداول بسعر €38,50؛ والقيمة الدفترية لحقوق ملكيتها €96 300 000. دفعت للتوّ توزيعًا قدره €1,60 للسهم، وتنمو التوزيعات بنسبة 4% سنويًا. القيمة السوقية لدينها €115 500 000 وتكلفته قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 30%. أوجد WACC، مستخدمًا نموذج نمو التوزيعات لتكلفة حقوق الملكية.

N = 5 000 000P₀ = €38,50حقوق الملكية الدفترية = €96 300 000D₀ = €1,60g = 4%D = €115 500 000r_d = 5%T = 30%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 21, 55, 20, 33, 41, 36, 53.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 60 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 80؟

μ = 60σ = 10x = 80

P =

11.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,05, 0,35

Var(X) =

12.الاحتمالصعبة

يُختبر 6 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 6p = 0,6

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 199,8 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 199,8 mm

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 97,5% منها (المئين 97,5).

μ = 250σ = 5P = 97,5%

x = g

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 30,5 وانحرافها المعياري s = 5,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 6x̄ = 30,5s = 5,590%t(5) = 2,015

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 3 على الأكثر؟

σ = 23E = 395%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 60,88 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 60,88s = 15n = 16

t =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 505,3. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 505,3σ = 12n = 2590%

U =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 4,5.

n = 6x = 4,5

ŷ =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 8874 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

المعدل وعدد الفترات

i = 0,04/4 = 0,01

N = 4·3 = 12

القيمة الحالية

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1,127 = €8 874,49

الإجابة

PV = €8 874,49

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: A = 497,4 €

المعدل الشهري وعدد الدفعات

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·5 = 60

الدفعة

القيمة الحالية لـ N دفعة متساوية A هي A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. ساوِها بالقرض وحُلّ لإيجاد A.

(1 + i)^−N = 0,6984

A = 25 000·0,006/(1 − 0,6984) = €497,39

الإجابة

A = €497,39

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 77778 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

قيمة التدفقات النقدية

PV = 43 000/(0,12 − 0,03) = 477 777,78

NPV

NPV = 477 777,78 − 400 000 = €77 777,78

الإجابة

NPV = €77 777,78

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: IRR = 26,86 %

احصر IRR بين قيمتين

تنخفض NPV كلما ارتفع المعدل، لذا يقع IRR بين معدل يعطي NPV موجبة ومعدل يعطي NPV سالبة.

NPV(25%) = 304,00

NPV(30%) = −482,48

ضيّق النطاق

يعطي الاستكمال الخطي تقديرًا أوليًا؛ وتكراره (أو دالة IRR في الآلة الحاسبة) يعطي المعدل الدقيق.

IRR ≈ 25 + 5·304,00/(304,00 − (−482,48)) = 26,93%

بالضبط: NPV(26,86%) = 0 → IRR = 26,86%

الإجابة

IRR = 26,86%

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1177 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €30,00, i = 0,02, N = 22

القيمة الحالية للكوبونات

€30,00·(1 − 0,6468)/0,02 = €529,74

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,6468 = €646,84

السعر

P = €1 176,58

الإجابة

P = €1 176,58

العائد أقل من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بعلاوة.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 1030 €

المدة (الديمومة): مدة ماكولي هي متوسط الزمن المرجَّح الذي يدفع فيه السند تدفقاته النقدية، مع القيم الحالية للتدفقات أوزانًا: D = Σ t·PVₜ/P. المدة المعدَّلة D/(1 + y) تقدّر التغيّر النسبي في السعر لتغيّر صغير في العائد: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

المدة المعدَّلة

D_mod = 4,1/1,07 = 3,832

التغيّر المقدَّر في السعر

%ΔP ≈ −3,832·(0,0075) = −2,874%

P ≈ 1060·(1 − 0,02874) = €1 029,54

الإجابة

P = €1 029,54

المدة تقدير خطي؛ للتغيّرات الكبيرة في العائد يجعل التحدّب السعر الحقيقي أعلى قليلًا.

7.CAPM و WACC

الإجابة: r_e = 11,99 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = €9 000 000, E/V = 0,4444, D/V = 0,5556

جزء الدين من WACC

0,5556·5%·(1 − 0,258) = 2,061%

تكلفة حقوق الملكية

r_e = (7,39% − 2,061%)/0,4444 = 11,99%

الإجابة

r_e = 11,99%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 6,514 %

تكلفة حقوق الملكية

D₁ = 1,6·1,04 = €1,66

r_e = 1,664/38,5 + 0,04 = 8,322%

القيم السوقية

E = 5 000 000·€38,50 = €192 500 000

V = €308 000 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·8,322% + 0,375·5%·(1 − 0,3) = 6,514%

الإجابة

WACC = 6,514%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,89

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 259/7 = 37

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−16)² + 18² + (−17)² + (−4)² + 4² + (−1)² + 16² = 1158

الانحراف المعياري

s = √(1158/6) = 13,89

الإجابة

s = 13,89

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,02275

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

11.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 6,19

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,05 + 6·0,35 = 2,9

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,05 + 36·0,35 = 14,6

التباين

Var(X) = 14,6 − 2,9² = 6,19

الإجابة

Var(X) = 6,19

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,04096

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,4⁶ = 0,004096

P(X = 1) = 6·0,6·0,4⁵ = 0,03686

اجمعها

P = 0,004096 + 0,03686 = 0,04096

الإجابة

P = 0,04096

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6554

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (199,8 − 200)/0,5 = −0,4

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,4) = 1 − 0,3446 = 0,6554

الإجابة

P = 0,6554

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 259,8 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

العودة إلى x

x = 250 + 1,96·5 = 259,8 g

الإجابة

x = 259,8 g

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 25,98

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 2,015

هامش الخطأ

E = 2,015·5,5/√6 = 4,524

الفترة

30,5 ± 4,524 → [25,98, 35,02]

الإجابة

الحد الأدنى = 25,98

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 226

حُلّ لإيجاد n

n = (1,96·23/3)² = 225,8

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 226

الإجابة

n = 226

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,901

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

إحصائية الاختبار

t = (60,88 − 50)/3,75 = 2,901

الإجابة

t = 2,901

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 509,2

هامش الخطأ

E = 1,645·12/√25 = 3,948

حد الفترة

U = 505,3 + 3,948 = 509,2

الإجابة

U = 509,2

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9976

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 429/6 = 71,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 357

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1830

معامل الارتباط

r = 357/√(70·1830) = 0,9976

الإجابة

r = 0,9976

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 58,83

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 353/6 = 58,83

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108,5

خط الانحدار

b = 108,5/17,5 = 6,2

a = 58,83 − 6,2·4,5 = 30,93

ŷ = 30,93 + 6,2·x

التنبؤ

ŷ = 30,93 + 6,2·4,5 = 58,83

الإجابة

ŷ = 58,83

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income