التدريب على الأساليب الكمية والدخل الثابت في CFA Level I: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و20 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

القيمة الزمنية للنقود

القيمة المستقبلية: FV = PV·(1 + i)ⁿ
القيمة الحالية: PV = FV/(1 + i)ⁿ
عدة فترات في السنة: i = r/m, N = m·n
الدفعات، القيمة الحالية: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
الدفعات، القيمة المستقبلية: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

الطريقة

ارسم خطًا زمنيًا يضمّ كل تدفق نقدي وتوقيته.
طابق المعدل مع الفترة: معدل شهري للدفعات الشهرية.
استخدم FV = PV·(1 + i)ⁿ للمبالغ المفردة وصيغ الدفعات المتساوية (الأقساط) للدفعات المتساوية.
تحقّق من إشارة الإجابة ومن رتبة مقدارها.

NPV و IRR

صافي القيمة الحالية: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
تدفقات نقدية متساوية: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
معدل العائد الداخلي: قيمة r التي يكون عندها NPV = 0
القرار: اقبل عندما NPV > 0 (أو IRR > العائد المطلوب)

الطريقة

اذكر كل التدفقات النقدية مع سنواتها؛ الاستثمار في السنة 0 سالب.
اخصم كل تدفق نقدي: CF_t/(1 + r)^t.
اجمعها لتحصل على NPV. القيمة الموجبة تعني أن المشروع يحقّق أكثر من r.
لإيجاد IRR، أوجد المعدل الذي يجعل NPV صفرًا بالتجربة أو بالاستيفاء.

تسعير السندات وعائدها

سعر السند: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
نصف سنوي: C/2 و y/2 و 2n فترة
العائد الجاري: C/P
السعر والعائد: العائد يرتفع ← السعر ينخفض

الطريقة

أوجد الكوبون لكل فترة والعائد لكل فترة.
السعر = القيمة الحالية للكوبونات (دفعات متساوية) + القيمة الحالية للقيمة الاسمية.
للكوبونات نصف السنوية استخدم نصف الكوبون ونصف العائد وضعف عدد الفترات.
تحقّق: إذا كان العائد أعلى من معدل الكوبون، فالسعر أقل من القيمة الاسمية.

CAPM و WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
قيمة الشركة: V = E + D

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.القيمة الزمنية للنقودمتوسطة

تدفع سلسلة دفعات €500 في نهاية كل سنة لمدة 11 سنوات. معدّل الفائدة 5% سنويًا. أوجد القيمة الحالية PV لسلسلة الدفعات.

A = €500i = 5%n = 11

PV = €

2.القيمة الزمنية للنقودصعبة

يُسدَّد قرض قدره €10 000 بدفعات شهرية متساوية على مدى 5 سنوات بمعدّل 5,4% سنويًا، تُركَّب شهريًا. ما مقدار الفائدة الكلية I المدفوعة على مدى عمر القرض؟

P = €10 0005,4% / 12N = 60

I = €

3.NPV و IRRمتوسطة

استثمار قدره €75 000 يعطي التدفقات النقدية التالية في نهاية السنوات من 1 إلى 4: €27 000, €27 000, €32 000, €20 000. تكلفة رأس المال 6%. أوجد صافي القيمة الحالية NPV.

r = 6%CF₀ = −75 000CF₁ = 27 000CF₂ = 27 000CF₃ = 32 000CF₄ = 20 000

NPV = €

4.NPV و IRRصعبة

تبلغ تكلفة المشروع A €30 000 ويعود بـ €16 500, €11 500, €7 000 في نهاية السنوات من 1 إلى 3. تبلغ تكلفة المشروع B €32 000 ويعود بـ €8 500, €13 000, €16 500. أوجد معدّل التقاطع r* الذي يكون عنده للمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه، بالنسبة المئوية.

A: −30 000, 16 500, 11 500, 7 000B: −32 000, 8 500, 13 000, 16 500

r* = %

5.تسعير السندات وعائدهامتوسطة

سند قيمته الاسمية €1 000 يدفع كوبونًا سنويًا بنسبة 5% على دفعتين نصف سنويتين ويستحق بعد 7 سنوات. العائد حتى الاستحقاق 5,5% سنويًا. أوجد سعر السند P.

F = €1 000الكوبون = 5%YTM = 5,5%n = 7

P = €

6.تسعير السندات وعائدهاصعبة

سند قيمته الاسمية €1 000 وكوبونه السنوي 7% يستحق بعد 5 سنوات ويُباع بسعر €905. أوجد عائده حتى الاستحقاق YTM بالنسبة المئوية.

F = €1 000الكوبون = 7%n = 5P = €905

YTM = %

7.CAPM و WACCمتوسطة

تُموَّل شركة بأسهم عادية قيمتها €10 000 000، وأسهم ممتازة قيمتها €1 500 000، ودين قيمته €6 000 000. تكلفة حقوق الملكية 10%، وتكلفة الأسهم الممتازة 7%، وتكلفة الدين قبل الضريبة 5%. معدّل الضريبة 25%. أوجد WACC.

E = €10 000 000P_s = €1 500 000D = €6 000 000r_e = 10%r_p = 7%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

8.CAPM و WACCصعبة

لدى شركة 4 000 000 من الأسهم بسعر €44,50 للسهم الواحد و5 000 من السندات يُتداول كل منها بسعر €960. تكلفة الدين قبل الضريبة 6% ومعدل الضريبة 25,8%. معامل بيتا للسهم 1,1، والمعدل الخالي من المخاطر 1%، وعائد السوق 7,5%. أوجد WACC.

β = 1,1r_f = 1%r_m = 7,5%r_d = 6%T = 25,8%

WACC = %

9.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 39, 29, 44, 45, 60, 25, 29.

n = 7

s =

10.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 92؟

μ = 100σ = 10x = 92

P =

11.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

6 / 9

P =

12.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 5 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,6، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 4 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 5p = 0,6k = 4

P =

13.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 8 منها 200,7 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 8> 200,7 kg

P =

14.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

15.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 13 مفردة متوسطها 78 وانحرافها المعياري s = 14,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 13x̄ = 78s = 14,595%t(12) = 2,179

الحد الأدنى =

16.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 8. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 2 على الأكثر؟

σ = 8E = 290%

n =

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 250؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 9. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 246,46. اختبر H₀: μ = 250 مقابل H₁: μ ≠ 250. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 250σ = 9n = 36x̄ = 246,46H₁: μ ≠ μ₀

p =

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1,5 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 11. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 1,5σ = 11z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

19.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

20.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (5, 23). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(5, 23)

e =

3المحاليل

1.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: PV = 4153 €

القيمة الزمنية للنقود: المال اليوم أثمن من المبلغ نفسه لاحقًا، لأنه يستطيع أن يكسب فائدة. بمعدل فائدة i لكل فترة، ينمو المبلغ وفق FV = PV·(1 + i)ⁿ. تُقيَّم سلسلة الدفعات المتساوية (الدفعات السنوية) بجمع كل دفعة، ومن هنا تأتي صيغ الدفعات.

معامل سلسلة الدفعات

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5847)/0,05 = 8,306

القيمة الحالية

PV = 500·8,306 = €4 153,21

الإجابة

PV = €4 153,21

2.القيمة الزمنية للنقود

الإجابة: I = 1433 €

الدفعة الشهرية

i = 0,0045, N = 60

A = 10 000·0,0045/(1 − (1 + 0,0045)⁻⁶⁰) = €190,55

إجمالي الفائدة

I = N·A − P = 60·190,6 − 10 000 = €1 433,02

الإجابة

I = €1 433,02

3.NPV و IRR

الإجابة: NPV = 17211 €

صافي القيمة الحالية: اخصم كل تدفق نقدي إلى اليوم بمعدل العائد المطلوب r، ثم اجمعها: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. المشروع الذي NPV > 0 يكسب أكثر من r ويضيف قيمة. معدل العائد الداخلي (IRR) هو المعدل الذي يجعل NPV = 0.

القيمة الحالية لكل تدفق نقدي

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,06)¹ = 27 000/1,06 = 25 471,70

CF₂/(1 + 0,06)² = 27 000/1,124 = 24 029,90

CF₃/(1 + 0,06)³ = 32 000/1,191 = 26 867,82

CF₄/(1 + 0,06)⁴ = 20 000/1,262 = 15 841,87

اجمعها

NPV = €17 211,29

الإجابة

NPV = €17 211,29

NPV موجبة، لذا يكسب المشروع أكثر من العائد المطلوب.

4.NPV و IRR

الإجابة: r* = 4,725 %

معدّل التقاطع: معدّل الخصم الذي يكون عنده لمشروعين صافي القيمة الحالية نفسه. وهو معدّل العائد الداخلي للفرق في تدفقاتهما النقدية (B − A). دونه يكون للمشروع ذي التدفقات النقدية المتأخرة والأكبر صافي قيمة حالية أعلى؛ وفوقه يتفوّق الآخر.

الفرق في التدفقات النقدية

ΔCF₀ = −32 000 − (−30 000) = −2 000

ΔCF₁ = 8 500 − 16 500 = −8 000

ΔCF₂ = 13 000 − 11 500 = 1 500

ΔCF₃ = 16 500 − 7 000 = 9 500

معدّل العائد الداخلي للفرق

NPV_Δ(4%) = 139,99

NPV_Δ(5%) = −52,05

r* = 4,725%

الإجابة

r* = 4,725%

تحقّق: عند 4,725% يساوي صافيا القيمة الحالية كلاهما €2 336,09.

5.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: P = 971,3 €

تسعير السندات: سعر السند هو القيمة الحالية لتدفقاته النقدية مخصومةً بالعائد حتى الاستحقاق (YTM): تشكّل الكوبونات دفعات منتظمة (annuity) وتُسدَّد القيمة الاسمية عند الاستحقاق. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. عندما يكون العائد أعلى من معدل الكوبون يُتداول السند بأقل من قيمته الاسمية، والعكس صحيح.

لكل فترة

C = €25,00, i = 0,0275, N = 14

القيمة الحالية للكوبونات

€25,00·(1 − 0,684)/0,0275 = €287,28

القيمة الحالية للقيمة الاسمية

€1 000·0,684 = €684,00

السعر

P = €971,27

الإجابة

P = €971,27

العائد أعلى من معدل الكوبون، لذا يُباع السند بخصم.

6.تسعير السندات وعائدها

الإجابة: YTM = 9,472 %

معادلة العائد

€905 = €70·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

الحل العددي

P(9%) = €922,21, P(10%) = €886,28

YTM = 9,472%

الإجابة

YTM = 9,472%

7.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 7,6 %

تكلفة رأس المال: يعطي CAPM العائد الذي يطلبه المساهمون: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). ويمزج المتوسط المرجّح لتكلفة رأس المال حقوق الملكية والدين بحسب قيمهما السوقية: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)، حيث V = E + D. الفائدة قابلة للخصم من الضريبة، ومن هنا العامل (1 − T).

الأوزان

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €17 500 000

E/V = 0,5714, P_s/V = 0,08571, D/V = 0,3429

WACC

WACC = 0,5714·10% + 0,08571·7% + 0,3429·5%·(1 − 0,25) = 7,6%

الإجابة

WACC = 7,6%

8.CAPM و WACC

الإجابة: WACC = 8,053 %

القيم السوقية

E = 4 000 000·€44,50 = €178 000 000

D = 5 000·€960 = €4 800 000

تكلفة حقوق الملكية (CAPM)

r_e = 1% + 1,1·6,5% = 8,15%

الأوزان

V = €182 800 000, E/V = 0,9737, D/V = 0,02626

WACC

WACC = 0,9737·8,15% + 0,02626·6%·(1 − 0,258) = 8,053%

الإجابة

WACC = 8,053%

9.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 12,23

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 271/7 = 38,71

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0,2857² + (−9,714)² + 5,286² + 6,286² + 21,29² + (−13,71)² + (−9,714)² = 897,4

الانحراف المعياري

s = √(897,4/6) = 12,23

الإجابة

s = 12,23

10.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7881

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,8

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

11.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1429

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 6/15 · 5/14 = 30/210 = 0,1429

الإجابة

P = 0,1429

12.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2592

صيغة ذي الحدين

P(X = 4) = 5·0,6⁴·0,4¹ = 5·0,1296·0,4 = 0,2592

الإجابة

P = 0,2592

13.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3121

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 200 kg, σ_T = 0,5·√8 = 1,414 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,7 − 200)/1,414 = 0,49

الاحتمال

P = 1 − Φ(0,49) = 0,3121

الإجابة

P = 0,3121

14.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7611

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02828 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02828 = −0,71

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,71) = 0,7611

الإجابة

P = 0,7611

15.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 69,24

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 12, t = 2,179

هامش الخطأ

E = 2,179·14,5/√13 = 8,763

الفترة

78 ± 8,763 → [69,24, 86,76]

الإجابة

الحد الأدنى = 69,24

16.فترات الثقة

الإجابة: n = 44

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·8/2)² = 43,3

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 44

الإجابة

n = 44

17.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,01827

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 9/√36 = 1,5

z = (246,46 − 250)/1,5 = −2,36

مساحة الذيل

Φ(2,36) = 0,9909

1 − Φ(2,36) = 0,0091

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0091 = 0,01827

الإجابة

p = 0,01827

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

18.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 701

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·11/1,5)² = 700,1

قرّب إلى الأعلى

n = 701

الإجابة

n = 701

19.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9438

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 286/5 = 57,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 390,8

معامل الارتباط

r = 118/√(40·390,8) = 0,9438

الإجابة

r = 0,9438

20.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,643

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 171/6 = 28,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

خط الانحدار

b = 285/70 = 4,071

a = 28,5 − 4,071·7 = 0

ŷ = 0 + 4,071·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 0 + 4,071·5 = 20,36

البُواقي

e = 23 − 20,36 = 2,643

الإجابة

e = 2,643

تقع النقطة فوق الخط.

هذه مادة تدريب مستقلة. ExamProblems غير تابع للجهة التي تنظّم هذا الامتحان ولا معتمد منها، ويُستخدم اسم الامتحان لوصف المحتوى فقط. CFA® and Chartered Financial Analyst® علامات تجارية لـ CFA Institute، وهي غير تابعة لـ ExamProblems ولا تؤيده ولا تضمن دقته.

ExamProblems · examproblems.com/courses/cfa-level-1-quant-and-fixed-income